Intuición detrás de las estructuras o-minimales.

Question

Este es un post muy parecido al que publiqué en math.stackexchange .

Estoy siguiendo las definiciones de un sistema o-minimal en "Tame Topology and O-minimal Structures" de Lou van den Dries.

De la definición se desprende que la gráfica de $\sin(x)$ no es un conjunto dócil (interséquelo con $y=0$ ). Pero, ¿qué hay de uno ligeramente girado? O una que esté girada y trasladada a la vez. A mí me parece que están domesticados (a no ser que estén rotados por $\pi/4$ ). ¿Es correcto que estos conjuntos estén contenidos en algunos ¿Sistema o-minimal? ¿Y cómo puedo "reconocer" fácilmente los conjuntos domesticados? Por ejemplo, mi intuición es que una colección de conjuntos en $\mathbb{R}^2$ son dóciles si no invalidan el axioma de minimidad ( $S_1$ contiene exactamente uniones finitas de puntos e intervalos abiertos). Si es así, puedo completarlo con los conjuntos necesarios para que sea una estructura o-minimal.

Estoy familiarizado con el teorema de la monotonicidad y cómo eso puede obstaculizar una descomposición celular de los conjuntos mencionados, pero realmente me gustaría ver desde la propia definición qué es lo que falla. No habría problema si todas las líneas de $\mathbb{R}^2$ se incluyeron, pero no puedo ver cómo es el caso (todos los horizontales, verticales y $y=x$ se incluyen por definición).

Answer 1

Dejemos que $B$ sea una ligera rotación de la gráfica de la función seno y digamos que $B \in S_2$ . Entonces se debería poder demostrar a partir de las definiciones que el conjunto $A$ de reales donde $B$ tiene un "máximo local" está en $S_1$ . Pero el conjunto $A$ no es una unión finita de puntos e intervalos.

Editar 1: He aquí algunos detalles de por qué $A$ tiene que estar en $S_1$ .

Primero escriba una fórmula de primer orden (utilizando sólo los símbolos $B$ y $\lt$ como predicados binarios además de símbolos lógicos) que definen los elementos de $A$ . Por ejemplo, observe que $a \in A$ si y sólo si:

$ \exists b,c,d [B(a,b) \wedge (c \lt a \lt d) \wedge \forall e,f [B(e,f) \wedge c \lt e \lt d \rightarrow f \leq b]] $ .

Ahora la fórmula debería guiarte a través de los axiomas que necesitas usar para demostrar que $A \in S_1$ . Por ejemplo, podría empezar diciendo algo como " $A$ es la proyección sobre la primera coordenada de cierto conjunto, que está en $S_4$ porque...". Sólo hay que recordar que los cuantificadores universales corresponden a complementos de proyecciones de complementos y los demás símbolos lógicos corresponden a operaciones booleanas.

Editar 2: Por otro lado, si $B$ es la gráfica de la función seno girada por $\pi/4$ y trasladado (digamos hacia arriba) para que no se cruce con la línea $x=y$ entonces $B$ puede ser en realidad un elemento de una estructura o-minimal (aunque no una que extienda la estructura de anillos de los reales). La razón es el siguiente hecho:

Si $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son dos biyecciones continuas crecientes continuas y crecientes, de manera que $x \lt f(x)$ y $x \lt g(x)$ para todos $x \in \mathbb{R}$ entonces las estructuras $(\mathbb{R},\lt,f)$ y $(\mathbb{R}, \lt, g)$ son isomorfas.

Así que tomando $f$ como la función cuya gráfica es $B$ y tomando $g(x)=x+1$ , obtenemos que $(\mathbb{R},\lt,B)$ es o-minimal ya que $(\mathbb{R}, \lt, g)$ es o-minimal (siendo un "reducto" del campo real).

Answer 2

Las líneas, y más generalmente los subespacios afines, son definibles. He aquí por qué. La adición es definible, la multiplicación es definible, combinando esto se deduce que cualquier mapa afín es definible. El conjunto cero de un mapa definible es definible. Un subespacio afín es el conjunto cero de algún mapa afín, y su conjunto cero será definible.

La imagen de un conjunto definible a través de un mapa definible es un conjunto definible. Los mapas lineales, como las rotaciones, son definibles, por lo que la imagen del gráfico de $\sin x$ a través de una rotación no puede ser definida. Si lo fuera, aplicando la rotación opuesta deduciríamos que el propio gráfico sería definible.

Aquí un argumento alternativo. La intersección de dos conjuntos definibles es un conjunto definible. En particular, la intersección de un conjunto definible con una recta será un conjunto definible en esa recta, es decir, una unión finita de intervalos abiertos y puntos. Es evidente que al girar la gráfica de $y=\sin x$ todavía se puede encontrar una línea para que su intersección con la gráfica rotada sea un conjunto infinito y contable de puntos.