¿Cómo abordar/resolver esta integral?

Question

Podría alguien sugerir cómo enfocar o resolver esta integral: $$\int_{0}^\infty e^{-a t}{2+t-2\sqrt{1+t}\over t^2}{\rm d\,}t,$$ donde $a>0$ ? No es una tarea. Intenté utilizar el cálculo del residuo pero no encontré un camino que rodeara el polo de orden 2 en el cero que se convirtiera en la integral real que necesito calcular. La otra opción era deshacerse del doble polo para convertirlo en un simple polo para poder indentarlo (si es necesario). Así que integré por partes usando $$v'=1/t^2$$ y $$u=e^{-a t}(2+t-2\sqrt{1+t})$$

Efectivamente, obtuve una integral ligeramente diferente con un polo simple en cero y otro polo en -1 (y un corte de rama): $$\int_{0}^\infty {e^{-a t}\over t}\left(-a(2+t-2\sqrt{1+t})+{\sqrt{1+t}-1\over\sqrt{1+t}}\right){\rm d\,}t.$$ Aquí es donde me quedé atascado ya que necesito obtener una integral real de 0 a $\infty$ pero el corte de la rama comienza en -1 por lo que mi plan de sangría falló.

Answer 1

He aquí un comienzo. Diferenciando dos veces con respecto a $a$ da

$$\int_{0}^\infty e^{-a t}(2+t-2\sqrt{1+t}){\rm d\,}t.$$

Ahora, calcula la integral y sigue la técnica utilizada en este problema .