¿Hay alguna forma rápida de comprobar si una matriz es diagonalizable o no?
En el examen, si se hace una pregunta como "¿Cuál de las siguientes matrices es diagonalizable?" y se dan cuatro opciones, ¿cómo se puede comprobar rápidamente? Espero que mi pregunta tenga sentido.
En primer lugar, asegúrese de conocer las condiciones de Matriz diagonalizable
En una situación de elección múltiple como la que ha descrito, el peor de los casos sería que usted diagonalizar cada uno y ver si sus valores propios cumplen las condiciones necesarias.
Sin embargo, como se ha mencionado aquí :
Una matriz es diagonalizable si y sólo si para cada valor propio la dimensión del espacio propio es igual a la multiplicidad del valor propio.
Es decir, si encuentras matrices con valores propios distintos (multiplicidad = 1) deberías identificarlas rápidamente como diagonalizables.
Además, depende de lo complicado que sea tu examen. Por ejemplo, si una de las opciones no es cuadrada, puedes descartarla inmediatamente. Por otro lado, podrían darte varios casos en los que tengas valores propios de multiplicidad mayor que 1, obligándote a comprobar dos veces si la dimensión del espacio propio es igual a su multiplicidad.
Una vez más, dependiendo de la complejidad de las matrices dadas, no hay manera de comprobar esto a menos que seas REALMENTE bueno haciendo todo esto en tu cabeza.
Una buena caracterización es esta: Una matriz o mapa lineal es diagonalizable sobre el campo F si y sólo si su polinomio mínimo es un producto de factores lineales distintos sobre F.
Así que primero, puedes encontrar el polinomio característico ( https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial ). Si el propio polinomio característico es un producto de factores lineales sobre $F$ entonces estás de suerte, no necesitas trabajo extra, la matriz es diagonalizable.
Si no es así, entonces utiliza el hecho de que el polinomio mínimo divide al polinomio característico, para encontrar el polinomio mínimo. (Esto puede no ser fácil, dependiendo del grado del polinomio característico)
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Encuentra los valores propios, si la multiplicidad de cada uno de ellos es uno entonces es diagonalizable (por el teorema de Hamilton-Cayley). Si hay valores propios con multiplicidades superiores a uno, compruebe la dimensión del espacio propio relacionado con esos valores propios, si la dimensión es menor que la multiplicidad, entonces no es diagonalizable.
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@Ron Pero llevará tiempo. Hay 4 matrices en opción.
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Otra herramienta: el teorema espectral. (Todas las matrices simétricas son diagonalizables sobre los reales. Más generalmente, todas las matrices normales son diagonalizables sobre los números complejos).