¿Por qué la creación de un modelo muestra coherencia?

Question

Según el título, ¿por qué la capacidad de generar un modelo a partir de axiomas demuestra que son consistentes?

Answer 1

Sólo quiero mencionar que generalmente no se construye un modelo de una teoría $T$ a partir de los axiomas de $T$ en sí mismo. En cambio, se utilizan medios externos para producir una estructura que se puede demostrar que es un modelo de $T$ .

Aquí es donde entra en juego la respuesta de Ben, aunque en mi opinión ofusca las cosas: si se construye un modelo de $T$ utilizando alguna otra teoría $T^\prime$ entonces lo que realmente has hecho es demostrar que la consistencia de $T^\prime$ implica la consistencia de $T$ . Hay ocasiones en las que esta distinción es importante. Por ejemplo, a partir de los axiomas ZFC de la teoría de conjuntos se puede construir un modelo de Aritmética de Peano, PA. No se sabe si ZFC es realmente consistente, aunque se cree ampliamente, y por lo tanto no podemos concluir inmediatamente que PA es consistente, aunque también se cree ampliamente.

Pero supongamos que hemos construido un modelo $M$ de $T$ utilizando métodos irreprochables. Por ejemplo, $M$ puede ser un finito $\mathcal{L}$ -Estructura de tamaño específico $n$ . La afirmación de que $T$ es consistente entonces se reduce a dos hechos sobre la lógica subyacente.

Hecho 1: Si $M$ es una estructura en algún lenguaje $\mathcal{L}$ entonces $M \models \varphi$ y $M \models \neg \varphi$ no pueden ser verdaderos para cada $\mathcal{L}$ -sentencia $\varphi$ . (De hecho, exactamente uno de $M \models \varphi$ o $M \models \neg \varphi$ retenciones).

Hecho 2: Si $T$ es una teoría en un lenguaje $\mathcal{L}$ y $\varphi$ es un $\mathcal{L}$ -sentencia tal que $T \vdash \varphi$ entonces $M \models \varphi$ para todos los modelos $M$ de $T$ .

Ahora bien, si $\varphi$ eran un $\mathcal{L}$ -sentencia tal que $T \vdash \varphi$ y $T \vdash \neg \varphi$ , entonces por el hecho 2 concluimos que $M \models \varphi$ y $M \models \neg \varphi$ pero esto contradice el hecho 1.

Answer 2

Dada una lengua $\mathsf{L}$ Queremos construir un modelo a partir de un conjunto de axiomas dados. Llamemos al $\mathsf{L}$ -sentencias $A =\{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}$ los axiomas. Un $\mathsf{L}$ -teoría (llámese $\mathbf{T}$ ) es un conjunto de $\mathsf{L}$ -sentencias, por lo que tenemos que $A$ es un $\mathsf{L}$ -y también lo es cualquier otro conjunto de $\mathsf{L}$ -sentencias. Se define que $\mathcal{M}$ es un modelo para $\mathbf{T}$ si $\mathcal{M} \vDash \psi$ para todos $\mathsf{L}$ -sentencias $\psi \in \mathbf{T}$ .

Cuando una teoría $\mathbf{T}$ es incoherente, significa que hay al menos un $\psi \in \mathbf{T}$ tal que $\mathbf{T} \vdash \psi \wedge \mathbf{T} \vdash \neg \psi$ . Sin embargo, nuestra definición de modelo $\mathcal{M}$ para un $\mathsf{L}$ -teoría $\mathbf{T}$ es exactamente eso $\mathcal{M} \vDash \psi$ para todos $\psi \in \mathbf{T}$ .

De ahí se deduce que para nuestro conjunto de axiomas $A = \{\varphi_{1},...,\varphi_{n}\}$ que si podemos construir un modelo $\mathcal{M}$ para $A$ significa que $\mathcal{M} \vDash \varphi_{i}$ , donde $1 \leq i \leq n$ . Por lo tanto, debe ser necesariamente el caso que si podemos construir un modelo $\mathcal{M}$ para nuestro conjunto de axiomas $A$ que $A$ es consistente, de lo contrario no podríamos construir dicho modelo $\mathcal{M}$ .

Si tienes alguna otra pregunta interesante sobre la teoría de los modelos, no dudes en preguntar, ¡estaré encantado de ayudarte! Avísame si necesitas alguna aclaración sobre la terminología o no estás familiarizado con lo que son algunos de los símbolos.

Answer 3

Crear un modelo no demuestra que una teoría sea consistente. Lo que demuestra es que, si podemos crear un modelo de la teoría A dentro de la teoría B, entonces sabemos que si A es inconsistente, B debe ser inconsistente también.

Por ejemplo, digamos que A es una geometría elíptica. En un momento dado, la gente pensaba que A era inconsistente, y se esforzaron mucho en demostrar que era inconsistente. Pero dejemos que B sea una geometría euclidiana. Podemos construir un modelo de A en B, tomando los puntos de A como puntos de una esfera, identificando los puntos que se encuentran en las antípodas de cada uno, y tomando las líneas como grandes círculos. Esto demuestra que si A fuera inconsistente, entonces B también lo sería.

En la mayoría de los casos, no hay esperanza de demostrar la consistencia de B, debido al teorema de Godel. Sin embargo, a menudo ocurre que B es una teoría que la gente no cree que pueda ser inconsistente, por ejemplo, la teoría de conjuntos ZFC o la aritmética de Peano. Por lo tanto, A tiene un modelo en B, todo el mundo se da cuenta de que es una pérdida de tiempo preocuparse por las inconsistencias en A.