Cómo encontrar $\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{T_r}$ cuando $\sum_{r=1}^{n}T_r$ ¿se da?

Question

Pregunta:

Si $$\sum_{r=1}^{n}T_r=\frac{n}{8}(n+1)(n+2)(n+3)$$

Entonces encuentra

$$\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{T_r}$$

Mi intento:

Traté de encontrar los términos $T_r$ por $S_r-S_{r-1}$ para $r>2$ . Para $r=1$ es simplemente $S_1$ . Aquí $S_r$ representa la suma hasta $r$ términos. Lo hice para ver si podía ver alguna propiedad que relacionara los términos. Por lo que hice, no noté ningún tipo de relación. Así que abandoné el proceso de búsqueda de los términos. Creo que necesito encontrar más términos para obtener una conclusión, pero sentí que debía ser un proceso muy largo.

Por lo tanto, deseo saber cómo resolver este problema. ¿Hay algún algoritmo como reemplazar $n$ por $\frac{1}{n}$ o algo así para evaluar este tipo de problemas. El reemplazo que sugerí no funciona para este problema.

Le ruego que me oriente al respecto.

Answer 1

Primero encontramos $T_n$ : $$ T_n = S_n - S_{n-1} = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}8-\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}8 = n(n+1)(n+2)\frac{n+3-(n-1)}8 = \frac{n(n+1)(n+2)}2. $$

Para encontrar $\sum^n\frac1{T_r}$ fíjate en eso: $$ \frac{1}{T_n} = \frac{2}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} = A_n - A_{n+1}, $$

donde $A_n=\frac{1}{n(n+1)}$ . Así, $$ \sum^n\frac1{T_r} = A_1-A_2 + A_2-A_3 +\ldots +A_{n}-A_{n+1} = A_1-A_{n+1} = \frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)} $$

Answer 2

Sugerencia Como has señalado, podemos recuperar la secuencia original $(T_r)$ de $S_n := \sum_{r = 1}^n T_r$ por $$T_r = S_r - S_{r - 1} = \frac{1}{2} r (r + 1) (r + 2) .$$ Entonces, $$\sum_{r = 1}^n \frac{1}{T_r} = \sum_{r = 1}^n \frac{2}{r (r + 1) (r + 2)},$$ pero podemos reescribir esta suma en forma cerrada aplicando la método de las fracciones parciales .

La descomposición de la fracción parcial del sumando es $$\frac{2}{r (r + 1) (r + 2)} = \frac{1}{r} - \frac{2}{r + 1} + \frac{1}{r + 2} = \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r + 1}\right) - \left(\frac{1}{r + 1} - \frac{1}{r + 2}\right).$$ Así, la suma telescopios , dejando $$\sum_{r = 1}^n \frac{1}{T_r} = \sum_{r = 1}^n \left[\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r + 1}\right) - \left(\frac{1}{r + 1} - \frac{1}{r + 2}\right)\right] = \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} = \color{#df0000}{\boxed{\frac{n (n + 3)}{2 (n + 1) (n + 2)}}} .$$