En un examen de hoy sobre métodos matemáticos de la física, nos pidieron que demostráramos la siguiente afirmación:
Dejemos que $V$ sea un espacio complejo de producto interno de dimensión finita. Sea $A: V \to V$ sea un mapa lineal estrictamente definido positivo. Demostrar que existe un único mapa lineal definido estrictamente positivo $B: V \to V$ tal que $e^B = A$ .
(No estoy 100% seguro de la afirmación exacta, pero debería ser ésta)
Nótese que en nuestro curso, positivo definido o estrictamente positivo definido también significa que el mapa debe ser autoadjunto (ya que los valores propios no reales no pueden ser "positivos" o "no positivos"). Quería demostrar el enunciado utilizando el teorema espectral, sin embargo, cuando llegué a la parte de demostrar que $B$ es estrictamente definida positiva también, me encontré con un problema.
Dejemos que $A = \mathrm{Id}_V$ denotan la identidad. $A$ es autoadjunto y estrictamente definido positivo, sin embargo, creo que el único mapa $B$ Satisfaciendo a $e^B = A$ sería el mapa cero, que claramente no es un mapa estrictamente definido positivo. Para $V = \mathbb{C}$ la afirmación afirma que existe un número real estrictamente positivo $x$ tal que $e^x = 1$ , lo cual no puede ser cierto.
Pregunta: ¿Me equivoqué con mi razonamiento en algún momento o la afirmación de que $B$ ¿es la definición estrictamente positiva demasiado fuerte? Intenté probarlo tomando el logaritmo de los valores propios de $A$ que también puede ser un número negativo.
Gracias de antemano por cualquier aclaración.
