Definir $f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{if } x \text{ is rational} \\-x^2 & \text{if } x \text{ is irrational}\end{cases}$

Question

¿En qué puntos es continua la función?

Creo que la función sólo es continua en $x=0$ porque es el único lugar donde la función no oscila entre números racionales e irracionales, pero no estoy del todo seguro.

Answer 1

sí, es continuo sólo en $0$ .

Si $x_0\neq 0$ se puede demostrar el límite de $f(x)$ no existirá utilizando la secuencia de Cauchy. Es decir, sin pérdida de generalidad, supongamos $x_0>0$ . en el intervalo abierto $U_n:=(x_0+\frac{1}{n+1}, x_0+\frac{1}{n})$ , tú eliges $x_n\in U_n\cap \mathbb{Q}$ y $y_n\in U_n\cap \mathbb{Q}^c$ entonces $|x_n-y_n|\leq \frac{2}{n}$ y $|f(x_n)-f(y_n)|=x^2_n+y_n^2\geq 2x_0^2$ .