Encuentra Delta, dado Epsilon lim x->0 raíz (x+1) = 1. epsilon = 0.1

Question

¿Puedo resolver esto usando la racionalización y luego asumiendo que delta <= 1? Si es así, ¿por qué está mal mi respuesta? sabemos |(x+1)-1| < 0.1
racionalización de LHS,
x<0.1*(|(x+1)+1|)
por lo tanto, delta = 0.1*(|(x+1)+1|)
para encontrar x, considera delta <= 1, x <= 1 por lo tanto (x+1)+1 <= 2 + 1
sustituyendo el valor, delta = 0.1*(2 + 1) = 0.2 (respuesta incorrecta)

Answer 1

Hay dos errores que estás cometiendo:

1. El $\delta$ que estás eligiendo en primer lugar no es independiente de $x$.
2. Al intentar corregir esto, encuentras un límite superior $c$ para tu expresión $f(x)$ para $\delta$ que depende de $x$ y luego eliges $\delta$ igual a ese límite superior $c$. Sin embargo, previamente encontraste que $\delta$ debe ser menor o igual a $f(x)$ para todos los $x$. Pero has demostrado que tu $\delta=c$ elegido es mayor que $f(x)$ para $x<1$. En conclusión, este enfoque no puede funcionar.

En cambio, considera lo siguiente: tenemos, como ya has notado

$$x<\varepsilon\cdot \left|\sqrt{x+1}+1\right|.$$

Dado que la expresión dentro del valor absoluto es siempre positiva, podemos eliminar el valor absoluto y obtener

$$\begin{split} x&<\varepsilon\cdot\left(\sqrt{x+1}+1\right) \\ \Leftrightarrow x-\varepsilon&<\varepsilon\cdot\sqrt{x+1} \\ \Leftrightarrow x^2-2\varepsilon x+\varepsilon^2&<\varepsilon x+\varepsilon \\ \Leftrightarrow x^2-3\varepsilon x+(\varepsilon^2-\varepsilon)&<0 \\ \end{split}$$

Encontraremos las raíces de la función cuadrática a la izquierda. Dado que su término principal es positivo, todos los $x$ entre esas raíces satisfarán la desigualdad.

$$x_{1,2}=\frac{3}{2}\varepsilon\pm\sqrt{\frac{9}{4}\varepsilon^2-\varepsilon^2+\varepsilon}=\frac{3}{2}\varepsilon\pm\sqrt{\frac{5}{4}\varepsilon^2+\varepsilon}.$$

En el caso de $\varepsilon=0.1$, obtenemos $x_1=\frac{3+3\sqrt{5}}{20}$ y $x_2=\frac{3-3\sqrt{5}}{20}$. Tenemos $|x_1|>|x_2|$ y por lo tanto debemos tomar $\delta=|x_2|=\frac{3\sqrt{5}-3}{20}$.