Aplicación del teorema de convergencia dominante

Question

Tengo que demostrar que $$\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty \mathrm (1+x/n)^{-n}(x^{-1/n})\mathrm{d}x = 1$$

Me han dicho que utilice el teorema de convergencia dominado pero no encuentro una función $|f_n(x)| \le g(x)$ . ¿Algún consejo para hacerlo? ¿O debería probar con otro teorema?

Answer 1

No es difícil ver que, si $n\geq2 $ que $$\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}x^{-1/n}\geq\left(1+\frac{x}{n+1}\right)^{-(n+1)}x^{-1/(n+1)} $$ así que $$\int_{0}^{\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}x^{-1/n}dx\leq\int_{0}^{\infty}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-2}x^{-1/2}dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}} $$ entonces podemos aplicar la DCT, y así $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}x^{-1/n}dx=\int_{0}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}x^{-1/n}dx $$ $$=\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1.$$