La computación de los tallos: hacer directo de los límites de comportarse como límites?

Question

Supongamos que $X$ es un espacio topológico con una gavilla por primicia de los anillos de $\mathcal{O}_X$. En general, el tallo en un punto de $p \in X$ es el límite de los anillos $\mathcal{O}_X(U)$ abierto para todos los conjuntos de $U$ contiene $p$.

Aquí hay dos preguntas en la computación de los tallos - creo que ambos deben de ser cierto, ya que la directa límite debe ser algún tipo de "limitación de proceso", pero que está lejos de ser convincente para mí.

Puedo calcular el tallo de $\mathcal{O}_X$ a un punto de $p \in X$ sólo por la limitación básica abrir conjuntos de $X$ contiene $p$?

Puedo calcular el tallo de $\mathcal{O}_X$ a un punto de $p \in X$ por la exclusión de algunos número finito de "grandes" bloques abiertos en torno a $p$, y, a continuación, la limitación en el resto de bloques abiertos en torno a $p$?

Answer 1

Básicamente, he aquí una manera de pensar en el tallo que es más "de abajo-a-tierra" que directa límites. Un elemento de la paja $O_x$ es administrado por un par de $(f, U)$ donde $f$ es una sección sobre el conjunto abierto $U$ $U$ contiene $x$. Dos pares de $(f,U), (g,V)$ se consideran equivalentes si $f=g$ en un vecindario $W$ $x$ (contenido en $U \cap V$).

Con esta definición, es fácil ver que lo que sucede en $x$ no dependen de lo que sucede en $F$ donde $F$ es cualquier conjunto cerrado disjunta de a $x$. El tallo es puramente local de la construcción.

En cuanto a por qué esto es equivalente a la directa límite: que es un corolario directo de cómo las obras de construcción en la mayoría de los familiares de las categorías con las que se podría definir una gavilla (conjuntos, grupos, anillos, etc.)

Answer 2

Sí. El estado general es la siguiente: límite a más de un poset es igual al límite sobre su cualquier coinitial subconjunto. La prueba Formal es fácil (sugerencia: la construcción de mapas en ambas direcciones) y de manera informal es un análogo de la "larga tiene el mismo límite como una secuencia de" teorema.

Answer 3

Creo que hay una palabra que falta en Akhil Mathew respuesta: y es "filtrada".

Usted puede hacer eso porque los tallos son filtrados colimits (también conocido como "directa límites").

Filtrado colimits, $\varinjlim_i X_i$, usted puede tomar representantes de elementos $x \in \varinjlim_i X_i$ algunos $i$ pertenecen al conjunto de los índices de $I$ (en nuestro caso, el abierto de los conjuntos de $U$). Es decir, usted puede encontrar algunos de los $i$ $x_i \in X_i$ que va a su $x$ a través de el universal flecha $X_i \longrightarrow \varinjlim_i X_i$. Por ejemplo, cada elemento de la paja $O_{X,p}$ puede ser representada por una sección de $f \in O_X(U)$ para un conjunto abierto $U$.

Pero esto no es cierto para otros tipos de colimits.

Por ejemplo, el empuje de dos flechas $f: A \longrightarrow B$ $g: A \longrightarrow C$ en la categoría de, digamos, abelian grupos. Los elementos de esta empujar $B \oplus_A C$ son clases de pares $(b,c) \in B\oplus C$, donde el cociente de los elementos de la forma $(f(a), 0) - (0, g(a))$, para todos los $a\in A$. Es decir,$(f(a),0) = (0,g(a))$$B\oplus_A C$.

Elementos de $B\oplus_A C$ no puede ser representado, en general, por elementos provenientes de sólo $B$ o $C$, los cuales son de la forma $(b,0)$ o $(0,c)$, respectivamente: así, por un general $(b,c) \in B\oplus_A C$ no es $b \in B$ ni $c\in C$, que la representa.