En algunas acciones especiales

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $A$ sea un grupo abeliano. Sea $\beta$ , $\alpha :G\rightarrow Aut(A)$ sean dos homomorfismos. Es bien sabido que si existen existe $\sigma \in Aut(A)$ , $\rho \in Aut(G)$ tal que $(\beta \circ \rho )(g)=\sigma \circ \alpha (g)\circ \sigma^{-1}$ para todos $g\in G$ entonces los productos semidirectos $A\rtimes _{\alpha }G$ y $A\rtimes_{\beta}G$ son isomorfas.

Sin embargo, en una etapa de una prueba relativa a la representación de algunos grupos especiales, consigo que haya existen $\sigma \in Aut(A)$ , $\rho \in $ $Aut(G)$ tal que $(\alpha \circ \rho )(g)=\sigma \circ \alpha (g)\circ \sigma^{-1}$ para todos $g\in G$ . ¿Existe alguna interpretación de esta fórmula en la teoría de grupos? ¿Por qué puede ser una propiedad interesante?

Gracias de antemano.

Answer 1

Parece que has dejado $\beta=\alpha$ . Así que, por supuesto, esto es cierto con $\sigma$ y $\rho$ los automorfismos de identidad. Pero esto es básicamente una afirmación trivial.

No estoy seguro de si se puede hacer algo con él si $\sigma\ne\rho$ . Si hay algún ejemplo, supongo que podría llamarse $\alpha$ -equivalente