Sobre ideales primos mínimos y variedades

Question

Dejemos que $W$ sea una variedad, y $I=\mathbb{I}(M)$ entonces tenemos $$I=\operatorname{rad}(I)=P_1\cap\cdots\cap P_n$$ donde $P_i$ son ideales primos mínimos que contienen $I$ .

Así, tenemos $$W=\mathbb{V}(I)=\mathbb{V}(P_1\cap\cdots\cap P_n)\supset\mathbb{V}(P_1)\cup\cdots\cup\mathbb{V}(P_n)$$

No creo que podamos deducir $W=\mathbb{V}(P_1)\cup\cdots\cup\mathbb{V}(P_n)$ pero no pude hacer un contraejemplo.

¿Alguien podría ponerme un ejemplo? ¿O demostrar la igualdad?

Answer 1

$V(I \cap J) = V(I \cdot J) = V(I) \cup V(J)$ es un hecho general, y fácil de demostrar.