Necesito ayuda para entender $a^x$ definido como un límite

Question

Estoy haciendo un gran repaso de cálculo, repasando el libro de Paul Garrett Repaso de Cálculo . Hasta ahora es muy claro y conciso, pero me he quedado atascado en un punto. Expone un poco de repaso sobre los exponentes (qué definen, cómo se combinan, etc.), y luego dice:

$$a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$$ Un peligro es que, si queremos Si queremos que sólo aparezcan números reales (en lugar de complejos) que no tratemos de sacar raíces cuadradas, $4^{th}$ raíces, $6^{th}$ raíces, o cualquier raíz de orden par de números negativos.

Entendido. No hay sorpresas.

Para exponentes reales generales $x$ tampoco debemos tratar de entender $a^x$ excepto en el caso de $a > 0$ o tendremos que usar números complejos números complejos (lo que no sería tan terrible). Pero el valor de $a^x$ puede sólo puede definirse como un límite: dejemos que $r_1, r_2, . . .$ sea una secuencia de números racionales que se acercan a $x$ y definir $$a^x = \lim_{i}a^{r_i}$$ Habría que comprobar que esta definición no dependa accidentalmente de la secuencia que se aproxima $x$ (no lo hace), y que las mismas propiedades siguen funcionando (lo hacen).

...Y con eso, estoy perdido. I piense en está diciendo, primero, que nos veríamos obligados a salir de la zona de confort de los números reales si $a^x<0$ ya que podríamos terminar con algo como $-4^{1/2}$ . Pero, ¿por qué el valor de $a^x$ ¿sólo se puede definir como un límite? Esa parte, y la secuencia que se aproxima $x$ me ha dejado en evidencia. ¿Alguien puede aclarar esto un poco? ¡Gracias de antemano!

actualización muy retrasada: Como se ha señalado en los comentarios más abajo, parece que el límite entra en juego si queremos definir $a^x$ para todos los valores reales de $x$ , incluyendo irracionales. Esto tiene mucho más sentido ahora. Gracias de nuevo.

Answer 1

Si $ a > 0 $ entonces una forma más fácil de definir $ a^{x} $ para cualquier $ x \in \mathbb{R} $ es $$ a^{x} \stackrel{\text{def}}{=} \exp(x \ln(a)). $$ Como $ \exp $ es una función continua en $ \mathbb{R} $ tenemos $$ \lim_{y \to x} \exp(y \ln(a)) = \exp \left( \lim_{y \to x} y \ln(a) \right) = \exp(x \ln(a)), $$ lo que implica que $$ \lim_{y \to x} a^{y} = a^{x}. $$ Por lo tanto, también podemos definir $ a^{x} $ como límite de la secuencia $ (a^{q_{n}})_{n \in \mathbb{N}} $ , donde $ (q_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ es cualquier secuencia en $ \mathbb{Q} $ que converge a $ x $ .