Análisis complejo: Demostrar que una función meromorfa es racional.

Question

Me encuentro con un problema sobre el análisis complejo:

Demuestre que una función meromorfa en el plano complejo, que alcanza cualquier número complejo no más de veces fijas dadas, debe ser racional.

La única manera que conozco de demostrar que una función meromorfa es racional es mostrar que el infinito no es una singularidad esencial de la función (por lo tanto, puede ser controlada por el polinomio). Siguiendo esto, podemos utilizar el Gran Teorema de Picard para resolver el problema.

Me pregunto si alguien puede ayudarme a pensar en otro método. (Sin utilizar el Gran Teorema de Picard).

Answer 1

Demuestre que una función meromorfa en el plano complejo, que alcanza cualquier número complejo no más de veces fijas dadas, debe ser racional.

Si está disponible, el teorema de Picard es probablemente la forma más rápida de espantar esta mosca [y da el resultado sin asumir una fijo límite en el número de veces que se alcanza un valor]. Si el teorema de Picard no está disponible o debe evitarse:

Llamemos a la función meromorfa $f$ y llamemos al límite fijo del número de veces que se alcanza cualquier número complejo $n$ .

Si $f$ tiene al menos $k$ polos, entonces todo número complejo de módulo suficientemente grande se alcanza al menos $k$ veces, así que $k \leqslant n$ . Dejemos que $\{\pi_1,\dotsc, \pi_p\}$ sea el conjunto de polos de $f$ .

Dejemos que $m$ sea el número máximo que alcanza cualquier valor complejo (contando las multiplicidades). Entonces $m \leqslant n$ . Escoge $w_0 \in \mathbb{C}$ tal que $w_0$ se consigue $m$ veces (contando las multiplicidades), y elegir $R$ tan grande que $f(z) \neq w_0$ para $\lvert z\rvert \geqslant R$ y que $\lvert \pi_k\rvert < R$ para todos los polos de $f$ . Elija $\varepsilon > 0$ lo suficientemente pequeño como para que $0 < \lvert z - \pi_k\rvert \leqslant \varepsilon \implies \lvert f(z)\rvert \geqslant 1 + \lvert w_0\rvert$ y $\lvert \pi_k\rvert + \varepsilon < R$ . Dejemos que $G = \{ z\in \mathbb{C} : \lvert z\rvert < R, \lvert z-\pi_k\rvert > \varepsilon\}$ . Entonces mira

$$N(w) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial G} \frac{f'(z)}{f(z) - w_0}\,dz.$$

Por construcción, $N(w_0) = m$ y $N$ es constante en cada componente de $\mathbb{C}\setminus f(\partial G)$ , por lo que tenemos $N(w) \equiv m$ en algún barrio $U$ de $w_0$ lo que significa que cada $w\in U$ se consigue $m$ veces (contando las multiplicaciones) en $G$ . Por la maximalidad de $m$ , eso significa que no $w\in U$ se consigue fuera $G$ En particular

$$U \cap f\bigl(\mathbb{C}\setminus \overline{D_R(0)}\bigr) = \varnothing.$$

Por el teorema de Casorati-Weierstraß, se deduce que $\infty$ no es una singularidad esencial de $f$ . Entonces la racionalidad de $f$ se obtiene restando las partes principales de $f$ en el $\pi_k$ y (posiblemente) en $\infty$ .

Answer 2

Tomemos el plano complejo extendido $\mathbb{C}\cup\{\infty \}$ . Introducir una función $f$ que tiene una vecindad puntuada en el origen (por lo tanto es analítica en una vecindad puntuada en el infinito). La región restante tiene un número finito de polos, por lo que la colección de polos de $f$ (se denota $a_n$ ) es finito. Introducir las expansiones de Laurent en uno de los polos $a_m$ (para los fijos $m$ ) y en el infinito. Observe las secciones de potencia nagtivas de las expansiones de Laurent en el polo y en el infinito (llámelas $l_k$ y $l_{\infty}$ respectivamente) para derivar polinomios de longitud finita en cada polo, y restarlos de $f$ . Esto dará algo como \begin {equation*} f- \sum l_k-l_{ \infty }. \end {equation*} Concluir que este resultado es entero y acotado para conseguir que este sea racional.