Encontrar todos los triángulos $ABC$ Satisfaciendo a $\sum \frac{a^{2}\cos\frac{B-C}{2}}{\sin\frac{A}{2}}=2(a^2+b^2+c^2)$

Question

$\triangle ABC$ tiene $BC=a, CA=b, AB=c$ y satisface $$\dfrac{a^{2}\cos\dfrac{B-C}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b^{2}\cos\dfrac{C-A}{2}}{\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{c^{2}\cos\dfrac{A-B}{2}}{\sin\dfrac{C}{2}}=2(a^2+b^2+c^2)$$ Encuentra todos los triángulos $ABC$ .

Answer 1

Convirtiendo todos los ángulos en lados la condición dada se verá como $$\sum \frac{a^{2}\cos\frac{B-C}{2}}{\sin\frac{A}{2}}\frac{2sin(\frac{B+C}{2})}{2cos(\frac{A}{2})}=2(a^2+b^2+c^2)$$ $$\sum \frac{a^{2}(sin{B}+sinC)}{\sin{A}}=2(a^2+b^2+c^2)$$$$\sum \frac {a^{2}( \frac {b}{R}+ \frac {c}{R})}{ \frac {a}{R}}=2(a^2+b^2+c^2) $$ $$\sum (ab+ac)=2(a^2+b^2+c^2) $$ $$ 2(ab+bc+ac)=2(a^2+b^2+c^2) $$ Now considering rearrangement inequlity we have$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac $$ now for the equality to hold the condition should be$$ a=b=c$$ y tienes el triángulo.