Densidad de estados a partir de la estructura de bandas

Question

Sea la densidad de estados dada por

$$ g(\epsilon) = \int \frac{\mathop{d^3 q}}{4\pi^3} \delta(\epsilon - \epsilon(\vec{q})), $$

donde $\epsilon(\vec{q}) = \frac{\hbar^2}{2m}q_\perp^2 + h_\pm(q_\parallel)$ y donde $h_\pm(q_\parallel)$ es una función que depende de $q_\parallel$ solo. $q_\perp$ y $q_\parallel$ denotan las componentes del vector $\vec{q}$ que son perpendiculares/paralelas a un vector $\vec{K}$ de la red recíproca. Quiero demostrar que $$ g(\epsilon) =\frac{1}{4\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right) (q_\parallel^\text{max}-q_\parallel^\text{min})$$ con $q_\parallel^\text{max}$ y $q_\parallel^\text{min}$ las dos soluciones de la ecuación $\epsilon = h_\pm(q_\parallel)$ .

Por desgracia, no tengo ni idea de cómo derivar la ecuación anterior. Espero que alguien me ayude con esto.

Answer 1

Esto es lo que encuentro. No es exactamente lo que buscabas, así que tal vez haya un error, pero a mí me parece que está bien. Usted tiene $$ g(\epsilon) = \int \frac{d^3\textbf{q}}{4\pi^3} \delta(\epsilon - \epsilon(\textbf{q}) = \frac{1}{4\pi^3} \int d q_{||} \int d^2 \textbf{q}_{\perp} \delta\left(\epsilon - \frac{\hbar^2q^2_{\perp}}{2m} - h_{\pm}(q_{||})\right). $$ Se utilizan coordenadas polares como $d^2\textbf{q}_{\perp} = dq_{\perp}d\Omega_q q_{\perp}$ junto con el cambio de variable $\epsilon' = \frac{\hbar^2q^2_{\perp}}{2m}$ que implica $q_{\perp} dq_{\perp} = \frac{m}{\hbar^2}$ . Así, $$ g(\epsilon) = \frac{1}{4\pi^3} \int dq_{||} \underbrace{\int d\Omega_q}_{4\pi} \left(\frac{m}{\hbar^2}\right)\underbrace{\int d\epsilon' \delta(\epsilon - \epsilon' - h_{\pm}(q_{||}))}_{1} = \frac{1}{\pi^2}\frac{m}{\hbar^2} \int dq_{||}. $$ Ahora, simplemente se evalúan los límites de $q_{||}$ Por lo tanto $\int dq_{||} = q_{|| \text{max}} - q_{|| \text{min}}$ y casi tienes lo que buscabas.

Espero que te siga siendo útil, incluso después de un año y medio.