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Haga una copia temporal de la capa de entrada haciendo clic con el botón derecho del ratón y seleccionando Duplicar capa
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Seleccione uno de los polígonos de la capa Duplicar
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Seleccione el otros polígono en la capa de entrada
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Clip utilizando el Entrada capa y Duplicado capa. Asegúrese de comprobar en la opción Sólo características seleccionadas para ambas capas. Y ya está. La salida contiene sólo el área de superposición.
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Opcionalmente, ejecute la herramienta Vector > Herramientas de gestión de datos > Crear índice espacial con la capa de salida.
EDITAR:
El método que describo arriba funciona bien cuando sólo se superponen dos polígonos, donde los solapamientos pueden identificarse fácilmente. Sin embargo, si hay múltiples pares de solapamientos, mi método podría resultar engorroso. Además, si se superponen tres o más polígonos, mi método no funcionará. Para esas situaciones, la Saga Autointersección de polígonos herramienta mencionada por Taras es correcto.