Problema sobre una elipse y su excentricidad

Question

Si la tangente en un punto (a cos,b sin) de la elipse se encuentra con la circunferencia auxiliar en dos puntos, la cuerda que los une subtiende un ángulo recto en el centro, entonces la excentricidad de la elipse viene dada por ¿cuál de ellas?

A) $(1+(cos)^2)^{\frac{-1}{2}}$

B) $1+(sin)^2$

C) $(1+(sin)^2)^{\frac{-1}{2}}$

D) 1+ $(cos)^2$

Sé que la excentricidad de una elipse es igual a R/r-1, donde R y r son sus diámetros. Si una elipse se encuentra con una circunferencia auxiliar en dos puntos, también he intentado utilizar el teorema de la potencia del punto y las propiedades del eje radical. Pero, ¿qué sigue? ¿Cómo se relacionan todas estas funciones trigonométricas con la elipse? Gracias.

Answer 1

Esta no es la respuesta que quieres, pero debe ser C. Supongamos que a es la longitud del semieje mayor. Para $\theta=\pi/2$ los dos puntos de intersección con el círculo son $(\pm\sqrt{a^2-b^2},b)$ . Su condición dice entonces que el producto punto de estos dos puntos es 0. De esto se deduce fácilmente que la excentricidad es $1/\sqrt{2}$ . A la inversa, para esta excentricidad,

Answer 2

Dada la elipse E con ecuación $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ con a>b y círculo auxiliar C con ecuación $x^2+y^2=a^2$ , dejemos que $P=(x_1,y_1)$ sea cualquier punto de la elipse. Sean Q y R dos puntos de intersección de esta tangente con C, $F_1=(-c.0)$ y $F_2=(c,0)$ los focos de E $(c^2=a^2-b^2)$ y O el origen. Entonces $OQ\parallel F_1P$ y $OR\parallel F_2P$ . La única prueba que tengo de este resultado es una prueba de geometría analítica bastante larga; si te interesa, puedo publicarla.

La misma configuración que el primer diagrama, pero aquí el ángulo ROQ es un ángulo recto. Triángulo $F_1F_2P$ es un triángulo rectángulo ya que $F_1P\parallel OQ$ y $F_2P\parallel OR$ . Desde $|PF_1|^2+|PF_2|^2=2a$ , fácilmente $|F_1P|=a+ex_1$ y $|F_2P|=a-ex_2$ . Así que $(a+ex_1)^2+(a-ex_1)^2=|F_1F_2|^2=4c^2$ . Así que $a^2+e^2x_1^2=2c^2$ o $a^2(1+e^2\cos^2(\theta))=2c^2$ es decir $1+e^2(1-\sin^2(\theta)=2e^2$ , $e^2(1+\sin^2(\theta))=1$ y finalmente $$e={1\over\sqrt{1+\sin^2(\theta)}}$$ desde $e>0$ . Obsérvese que el resultado muestra que, dada la elipse, hay exactamente cuatro de esos puntos P. Son los puntos simétricos respecto a los ejes. Uno de ellos es el punto $P^{\prime}$ la reflexión de P sobre el eje x. P.D. No sé si es un problema bonito, pero he disfrutado resolviendo la respuesta.