Supongamos que $f$ es uniformemente continua. Demostrar que $\lim_{x→∞} f(x) = 0.$

Question

Creo que la siguiente pregunta es probablemente bastante fácil, pero no se me ocurre una forma sencilla de demostrarlo. Alguna ayuda sería genial. Esta pregunta viene de un viejo qual. Gracias.

Dejemos que $f$ sea una función integrable en $]0, +\infty[.$

(a) Supongamos que $f$ es uniformemente continua. Demostrar que $\lim_{x→+∞} f(x) = 0.$

Answer 1

Desde $f$ es integrable en $(0,\infty)$ tenemos que la función $F(x) = \int_{x}^\infty f(t) dt$ está bien definida. Además, $\lim_{x\to\infty} F(x) = 0$ .

Ahora dejemos que $\epsilon > 0$ y por continuidad uniforme tomar $\delta > 0$ sea tal que $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ cuando $|x-y| < \delta$ .

Ahora considere $F(x) - F(x + \delta/2) = \int_{x}^{x+\delta/2} f(t) dt = \delta/2 f(\xi_x)$ para algunos $\xi_x \in [x, x+\delta/2]$ por el teorema del valor medio de las integrales. En particular $|f(\xi_x) - f(x)| < \epsilon$ para todos $x$ .

Ahora $F(x + \delta/2) - F(x) \to 0$ como $x \to \infty$ ya que $F(x) \to 0$ . Esto significa que $f(\xi_x) \to 0$ como $x \to \infty$ . Lo que significa que $f(x)$ está dentro $B_\epsilon(0)$ para un tamaño suficientemente grande $x$ . Desde $\epsilon$ era arbitraria, esto significa que $f(x) \to 0$ como $x\to \infty$ .

Answer 2

Esta solución no requiere el teorema del valor medio. Supongamos que la conclusión es falsa. Entonces existe $\epsilon>0$ y una secuencia infinita $x_n\in(0,\infty)$ tal que $x_n\rightarrow \infty$ y $|f(x_n)|>\epsilon$ . Podemos suponer que el $x_n$ están espaciados al menos una unidad. Dado que $f$ es continua, $|f(x)|>0$ en algunos nbd $U_n$ de $x_n$ . El $U_n$ se puede suponer que son disjuntos. A partir de la continuidad uniforme, $|f(x)-f(t)|<\epsilon/2$ siempre que $|x-t|<\delta$ . En particular, $|f(x)-f(x_n)|<\epsilon/2$ siempre que $|x-x_n|<\delta$ independientemente de $n$ . Toma $\delta$ lo suficientemente pequeño como para que $I_n:= (x_n-\delta, x_n+\delta)\subset U_n$ . Así que, $|f(x)|>\epsilon/2$ en $I_n$ . Así,

$\int_0^\infty |f(x)|\,dx \ge \sum_{n=1}^\infty\int\limits_{I_n}|f(x)|\,dx \ge \sum_{n=1}^\infty\epsilon\delta$ lo que contradice la integrabilidad de $f$ .