Conectividad de una sección de un haz algebraico

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva compleja, $E$ ser una banda $n$ paquete con $n<dim X$ y $s$ sea una sección (holomorfa) de $E$ .

Existe un criterio relativamente sencillo para comprobar si el espacio $s=0$ es no vacía. Es decir, basta con saber que $c_n(E)\ne 0$ .

Pregunta. Me gustaría saber cómo se puede comprobar que $s=0$ es conectado . En el caso que me interesa $X$ es una variedad homogénea (es decir, admite una acción de grupo transitiva) y $E$ es un haz equivariante.

Tal vez hay una especie de principio de Lefshetz que dice que $s=0$ está conectado si $E$ ¿es "suficientemente" positivo?

Answer 1

Sí. Un caso (muy) particular del teorema de conectividad de Fulton-Lazarsfeld dice que el lugar cero de $s$ está conectado si $E$ es amplia (y de rango $< \dim(X)$ ). Véase el libro de Lazarsfeld Positividad en geometría algebraica II , cap. 7, §1.

Answer 2

Dejemos que $Z = \{s = 0\}$ . Está conectado si y sólo si $H^0(Z)$ es unidimensional. Se puede calcular $H^0(Z)$ utilizando la resolución Koszul $$ 0 \to \Lambda^n E^* \to \Lambda^{n-1}E^* \to \dots \to E^* \to O_X \to O_Y \to 0 $$ (que sí es una resolución si $X$ es Cohen--Macaulay y $Y$ tiene codimensión $n$ en $X$ ). Por lo tanto, si usted sabe que $H^i(X,\Lambda^iE^*) = 0$ para $i > 0$ la conexión de $Y$ es lo que sigue. Incluso si para algunos $i$ la cohomología es no trivial, se puede matar en la secuencia espectral, y se puede comprobar.