¿cuántos términos habrá una vez que se reúnan los términos con monomios iguales? ¿Cuál es la suma de todos los coeficientes?

Question

Si amplía $(x_1+x_2+\cdots+x_k)^n$ ¿Cuántos términos habrá una vez que se reúnan los términos con monomios iguales? ¿Cuál es la suma de todos los coeficientes?

Estoy un poco perdido aquí. Esto surgió con otras preguntas sobre el tema de los coeficientes binomiales, y las he resuelto. Me he pasado casi una hora intentando averiguar por dónde empezar y no he avanzado nada.

Answer 1

Suponiendo que estamos en un anillo conmutativo (es decir, que $x_1x_2 = x_2x_1$ y así sucesivamente), podemos utilizar el multinomial para describir el coeficiente de cada monomio distinto después de recoger los términos.

Piensa en la expresión $(x_1 + x_2 + \cdots+ x_k)^n$ ampliado como $$(x_1 + x_2 + \cdots+ x_k)(x_1 + x_2 + \cdots+ x_k)\cdots(x_1 + x_2 + \cdots+ x_k) \quad\quad (n ~~times)$$

Cuando multiplicamos esto, elegimos uno de los $x_i$ de cada uno de los grupos parentales $$(x_1 + x_2 + \cdots+ x_k).$$

En total, elegiremos $n$ variables (algunas de ellas quizá iguales) para multiplicarlas entre sí y crear un monomio.

Hay $\binom{n}{m_1,~m_2, ~m_3, \ldots, ~m_k}$ formas de obtener el monomio $x_1^{m_1}x_2^{m_2}\cdots x_k^{m_k}.$ Esto significa que el coeficiente es exactamente eso: $$\binom{n}{m_1,~m_2, ~m_3, \ldots, ~m_k} = \frac{n!}{m_1!m_2!\cdots m_n!}.$$

Answer 2

Para obtener la suma de los coeficientes, basta con poner todos los $x$ 's a $1$ . ¿Qué te da eso por $n=1$ ? Para obtener el número de monomios se busca el número de composiciones débiles de $n$ en $k$ partes, el número de formas ordenadas de escribir $n$ como la suma de $k$ enteros no negativos. Si se añade uno a cada uno, esto es lo mismo que el número de composiciones fuertes de $n+k$ en $k$ partes. Esto es ${n+k-1 \choose k-1}$ como se muestra en el artículo de Wikipedia.