Desigualdad geométrica $(a+b)(b+c)(c+a)(s-a)(s-b)(s-c)\leq (abc)^{2}$

Question

todos.

$a$ , $b$ , $c$ son tres lados de un triángulo.
Demuestra o refuta lo siguiente.

$(a+b)(b+c)(c+a)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq 8(abc)^{2}$

Conozco dos desigualdades.
$8(s-a)(s-b)(s-c)\leq abc~$ , $~(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

Pero para la combinación anterior de ellos, no tengo ni idea.
Gracias de antemano.

Answer 1

Utilice la fórmula de Heron $$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)=\dfrac{a^2b^2c^2}{R^2}$$ donde $R$ sea el centro de la circunferencia de $\Delta ABC$ . su desigualdad puede escribirse como $$8R^2\ge\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{a+b+c}$$ desde $$9R^2\ge a^2+b^2+c^2$$ basta con demostrar $$8(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\ge 9(a+b)(b+c)(a+c)\tag{1}$$ utilizar la desigualdad AM-GM $$27(a+b)(b+c)(a+c)\le 8(a+b+c)^3$$ entonces es fácil demostrar (1)