Demuestra que un elemento idempotente debe ser 0, 1 o un divisor de cero.

Question

Esto es lo que se me ha ocurrido para la prueba, pero siento que me falta una gran pieza del rompecabezas aquí. ¿Alguna idea?

Prueba. Supongamos que $R$ es un dominio integral y dejemos que $a\in R$ sea cualquier idempotente. Entonces,

$a^{2}=a\Longrightarrow a^{2}-a=a(a-1)=0$

Como no puede haber ningún divisor cero en $R$ se deduce que $a=0$ o $a-1=0\Rightarrow a=1$ como se desee.

Ahora bien, si $R$ no es un dominio integral tenemos que demostrar que para cualquier $a\in R$ con la propiedad de que $a^{2}=a$ entonces $a$ es un divisor de cero.

Si $a\ne1$ entonces $a^{2}=a\Rightarrow a(a-1)=0$ . Así que, o bien $a=0$ o $a=1$ pero por suposición $a\ne 0$ . Así que $a$ es un divisor de cero. QED

Answer 1

No creo que sea necesario utilizar tantos casos.

$a(a-1) = 0$ como ha señalado, por lo que si ninguno de los dos $a$ ni $a-1$ es $0$ es decir $a$ no es ni $0$ ni $1$ entonces $a$ es un divisor cero ya que $a(a-1) = 0$ y ninguno de los dos términos es $0$ .