Preguntas sobre la varianza, la media y su interpretación

Question

Sea X una variable aleatoria continua con la función de densidad:

$f_x(x) = \begin{cases} x+1, & \text{si}\ -1\leq x \leq 0 \\ -x +1, & \text{si}\ 0 \leq x < 1\\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} $

El valor esperado de esto es 0, ya que $E[x] = \int_{-1}^{0}x(x+1)dx + \int_{0}^{1}x(-x+1)dx = 0$

Mi pregunta es: al calcular la varianza usando: $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$

¿Simplemente calculo lo mencionado anteriormente pero con esta función de distribución?

$f_x(x^2) = \begin{cases} x^2+1, & \text{si}\ -1\leq x \leq 0 \\ -x^2 +1, & \text{si}\ 0 \leq x < 1\\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} $

Además, ¿es este el enfoque general?

Answer 1

No.

Si la distribución de $X$ es conocida y tiene una función de densidad de probabilidad $f_X$, entonces para una función adecuada $g:\mathbb R\to\mathbb R$ encontramos: $$\mathbb Eg(X)=\int g(x)f_X(x)dx\tag1$$

Esta igualdad lleva el nombre de "La ley del estadístico inconsciente" y también "Teorema de la Transferencia" (ver comentario de Florian).

Puedes aplicar esto aquí para encontrar $\mathbb EX^2$ donde la función $g$ está claramente definida por $x\mapsto x^2$ y $f_X$ es la densidad descrita en tu pregunta.

También puedes consultar aquí.

Para obtener más información sobre $(1)$ puedes echar un vistazo a (la respuesta en) esta pregunta.