La Wikipedia dice:
En matemáticas, un límite es el valor al que se "acerca" una función (o secuencia) a medida que la entrada (o índice) se "acerca" a algún valor.
¿Y si la función fuera una constante? Una constante es fija y no se aproxima a nada, así que ¿cómo definiríamos el límite de una constante?
Su cita no es una definición de un límite, sino una descripción en inglés de lo que computa.
Si miras la definición real, como la definición habitual de "epsilon-delta", verás que maneja perfectamente las funciones constantes, y de hecho tienes
$$ \lim_{x \to a} c = c $$
Por lo tanto, lo que ha sucedido aquí es que hay una mala comunicación - el significado que pretende el autor de este pasaje de wikipedia no es el que usted, el lector, deduce.
Aunque se podría decidir que el autor utilizó un lenguaje descuidado, o se podría achacar todo a la imprecisión del idioma inglés, creo que lo siguiente será más útil:
El lenguaje natural tiende a ser excluyente de los casos demasiado simples o degenerados - por ejemplo, si usted dijera "vivo a 50 millas de París" en una conversación cotidiana, el oyente asumiría que usted no vive en París porque se espera que lo hayas dicho.
El lenguaje técnico tiende a ser más inclusivo, a menos que se indique lo contrario: por ejemplo, que alguien que vive en París vive efectivamente a menos de 50 millas de París.
Dejemos que $f(x)=c$ , donde $c$ es algún número constante, y supongamos que el dominio de $f$ son los números reales. Entonces podemos tomar el límite como $x$ se acerca a algún valor, digamos por ejemplo $$\lim_{x\rightarrow0}f(x).$$
Entonces, por definición $f(x)=c \hspace{0.1cm}$ para todos $x$ Así que, en particular $$\lim_{x\rightarrow0}f(x)=c.$$
Observe que el valor de la función $f$ es constante, pero el valor de la variable independiente $x$ cambios.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que puede haber más de una definición de límite en función del espacio en el que se opere. Por ejemplo, un límite de una función para un elemento dado del dominio en el que tanto el dominio como el codominio tienen alguna medida, probablemente será el $\epsilon - \delta$ definición mientras que si se trata de un límite de una secuencia infinita hay que tener la definición de la secuencia . Están relacionados pero no son exactamente iguales.
La cita que usted cita de este artículo de Wikipedia que te refieres utiliza alguna explicación textual para facilitar la comprensión de la idea de límite, pero no es exacta en términos matemáticos. Se supone que esto sólo facilita la comprensión de la idea.
Ahora bien, si quisieras definir de alguna manera el significado de "aproximación" tendrías que buscar la definición de las limas. Independientemente de la definición elegida por ti (reformulada a un inglés un poco más común):
$c$ es un $\lim$ de $f$ en (algo - ya sea un elemento en su dominio o algo que es junto a su dominio) si independientemente de lo cerca que quiera estar de $c$ (seleccionando un $\epsilon > 0$ puede definir algunas condiciones que limiten qué elemento $x$ se le permite elegir de su dominio - cerrar a donde quiere estar en su dominio para que para cualquier $x$ de su dominio seleccionado de esa manera es cierto que está tan cerca del $c$ como querías ser, es decir
$|f(x) - c| < \epsilon$
Esta no es una cita real, es una generalización-refraseo.
Así que todavía usando una explicación común en inglés si se acerca en su dominio a algún $x_0$ estarás cerca de algunos $c$ en su codominio. Si está en $c$ ya estás también muy, muy cerrar.
Ahora no hay nada sobre acercarse aquí, pero en la mayoría de los casos la mayoría de sus valores incluso cerca de su $x_0$ producen un valor diferente a $c$ por lo que utilizar el término acercarse a facilitar la comprensión del lector. Sin embargo, si ya en $c$ técnicamente no lo haces acercarse a pero no invalida la definición. Por lo tanto, si no se quiere definir correctamente el enfoque, habría que decir que o bien se está acercando mucho al punto o bien ya se ha llegado a él.
Tenga en cuenta que su función puede saltar a $c$ a veces y luego salir de ella. Mientras no te alejes demasiado, seguirás acercándote $c$ . Pero la comprensión de sentido común de acercarse a es diferentes por lo que hay que tener cuidado de no confundir el significado matemático preciso y el de sentido común.
Cuando se intenta describir las matemáticas en un lenguaje común, para hacerlas comprensibles se utiliza alguna simplificación y se pierde la precisión matemática real. Hay que tenerlo en cuenta. Especialmente las fuentes como Wikipedia deben ser tratadas con un grano de sal en tales descripciones informales.
Términos escritos en script no son términos matemáticos estrictos. Esos términos se sustituyen por definiciones/condiciones estrictas, pero esas definiciones/condiciones son a veces difíciles de entender. Deliberadamente no quise usar términos matemáticos estrictos.
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