en el cálculo del área de un círculo en un cuadrado utilizamos puntos al azar para calcular la fracción del círculo! pero por qué no asumimos una simple cuadrícula y ponemos nuestros puntos en el centro de la misma. esto parece más uniforme y el resultado debería ser mejor.
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BruceET
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Cuando se hace una integración unidimensional, se tiene razón. A menudo es más eficiente utilizar una cuadrícula de puntos uniformemente espaciados en el intervalo de integración. (Hay algunas funciones periódicas y otros casos especiales en los que el método método de Monte Carlo con puntos elegidos al azar es mejor en una dimensión).
Sin embargo, en dimensiones múltiples, el enfoque de Monte Carlo suele ser mejor. Supongamos que se quiere integrar una distribución normal bivariante no correlacionada normal no correlacionada (media 0, DE 1, correlación 0) sobre el triángulo $T$ con vértices en $(0,0), (0,1), (1,0).$ Si se trata de utilizar una cuadrícula bidimensional de puntos que sirven como centros de las bases de los "postes" que se extienden desde el plano hacia arriba hasta la superficie de la densidad, no sólo tendrá bordes "desiguales" donde los postes se encuentran con la superficie de la densidad, sino que también tendrá bordes desiguales. donde los postes se encuentran con la superficie de la densidad, también tendrá bordes a lo largo de la hipotenusa del triángulo. Necesitarás muchos puntos de la cuadrícula para obtener una buena aproximación.
Sin embargo, si se generan puntos uniformemente al al azar dentro del triángulo, lo hará igual de bien o mejor con el mismo número de puntos en una cuadrícula. Los puntos aleatorios son "imprevisibles pero encajan bien en el triángulo.
Ejemplo: En la siguiente simulación en el software estadístico R, $m = 1000$ puntos se generan en el cuadrado de la unidad, de los cuales unos 500 dentro del triángulo $T$ se utilizan. Para $(X,Y)$ distribuido según esta distribución normal bivariada, $P[(X,Y)\in T]$ se aproxima como 0,06776, mientras que se puede demostrar mediante un argumento geométrico que esta probabilidad es exactamente 0,06773.
set.seed(818); m = 10^3
u = runif(m); v = runif(m); keep = (u + v < 1)
x = u[keep]; y = v[keep]
.5*mean(dnorm(x)*dnorm(y))
[1] 0.06776174
Integrando sobre regiones de dimensión superior a dos, los hiper-bordeados proliferan si se utiliza una cuadrícula multidimensional. Entonces el método de Monte Carlo es casi siempre mejor que una cuadrícula.
Dicho esto, hay que admitir que siempre se pueden idear integraciones multidimensionales para las que una cuadrícula regular funcione mejor. Al igual que se puede funciones unidimensionales para las que el método de Montecarlo funciona mejor. Los factores son la "suavidad" de la función y la "suavidad" del límites de la región de integración.
