Probabilidad de la moneda justa e injusta

Question

Estoy atascado en esta pregunta.

Una moneda con $P(H) = \frac{1}{2}$ se voltea $4$ veces y luego una moneda con $P(H) = \frac{2}{3}$ se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que un total de $5$ ¿se producen cabezas?

Sigo recibiendo $\frac{1}{6}$ pero la respuesta es $\frac{5}{36}$ .

Intento: $P($ todas las cabezas de las cuatro monedas $)P($ cualquiera de los lanzamientos es cara en las dos monedas $)+P(3$ cabezas en las cuatro monedas $)P($ ambas monedas son caras $)$

$P($ todas las cabezas de las cuatro monedas $) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ .

$P($ cualquiera de los lanzamientos es cara en las dos monedas $) = 1-P($ no hay cabezas en ambos lanzamientos $) = 1-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{8}{9}$ .

$P($ exactamente $3$ cabezas en los cuatro lanzamientos $) = \frac{1}{4}$ .

$P($ ambas monedas son caras $) = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ .

Ecuación final: $\frac{1}{16}\cdot\frac{8}{9}+\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{9} = \frac{1}{6}$ .

¿Por qué estoy fuera por $\frac{1}{36}$ ?

Answer 1

La probabilidad requerida será

$P($ exactamente $4 $ cabezas del $4$ vueltas de $1$ moneda st $)\cdot P($ exactamente $1 $ cabeza del $2$ vueltas de $2$ nd coin $)+$

$P($ exactamente $3 $ cabezas del $4$ vueltas de $1$ moneda st $)\cdot P($ exactamente $2 $ cabezas del $2$ vueltas de $2$ nd coin $)$

Utilizando Distribución Binomial la probabilidad requerida $$\binom44\left(\frac12\right)^4\left(1-\frac12\right)^{4-4} \cdot\binom21\left(\frac23\right)^1\left(1-\frac23\right)^{2-1}$$

$$+\binom43\left(\frac12\right)^3\left(1-\frac12\right)^{4-3} \cdot\binom22\left(\frac23\right)^2\left(1-\frac23\right)^{2-2}$$

$$=\frac1{16}\cdot\frac49+\frac14\cdot\frac49=\frac5{36}$$