En la proposición 5.13 de Hartshorne, el autor dice $r\ge 1$ pero creo que si $r=0$ la siguiente proposición también es válida, ¿no es así?
Dejemos que $A$ sea un anillo, y que $S=A[x_0]$ y que $X=\operatorname{Proj}S$ entonces $\mathit\Gamma_*(\mathcal O_X)\cong S$ .
$\mathit\Gamma_*(\mathcal O_{\operatorname{Proj}S})=A[x_0]_{x_0}\neq A[x_0]=S$ .
Mira la proposición 5.15. En ella se dice
Dejemos que $S$ sea un anillo graduado generado finitamente por $S_1$ como $S_0$ -Álgebra. Sea $X = \text{Proj}\ S$ y que $\mathcal F$ sea una gavilla cuasi-coherente en $X$ . Entonces existe un isomorfismo natural ${\Gamma_*(\mathcal F)}^\sim \simeq \mathcal F$ .
Creo que su caso se ajusta a los criterios ( $S_0 = A$ , $S_1 = (x_0)A$ ), por lo que existe un isomorfismo natural $\Gamma_*(\mathcal O_X)^\sim \simeq \mathcal O_X$ .
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En realidad, y corrígeme si me equivoco, pero desde que definimos $\text{Proj} \ S$ como el conjunto de ideales primos homogéneos en $S= A[x]$ que no contienen $(x)$ sólo tenemos los ideales primos de $A$ a la izquierda, así que $\text{Proj} \ S = \text{Spec} \ A$ .
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