Functores adjuntos para la mónada del conjunto de potencias

Question

Existe el functor de conjunto de potencia, $T$ que da lugar a una mónada: Para un conjunto $X$ , establecemos $TX:=\mathcal P(X)$ y para $f:X\to Y$ , establecemos $T(f):=S\mapsto f(S)$ , donde $f(S)$ denota la imagen directa. La unidad mapea al singleton $x\mapsto\{x\}$ y el segundo mapa da una unión, como en $\{\{a,b\},\{c\},\{\{d,e\},f\}\}\mapsto \{a,b,c,\{d,e\},f\}$ . También existe la lista-mónada, muy similar, donde $TX:=\bigcup_nX^n=X\cup (X\times X)\cup (X\times\dots$

Cuáles son los pares de funtores adyacentes $F,G$ para que $T=FG$ ¿y qué es la unidad conjunta? Sé que existen al menos "las dos soluciones extremas", ¿se utilizan en alguna parte?

Answer 1

Prefiero escribir $F$ para la unión de la izquierda. Así que tenemos $T = GF$ . Puede considerar para $F$ el functor libre de la categoría de conjuntos a la categoría de semilátices completos o el functor libre de la categoría de conjuntos a la categoría de semilátices completos libres. El functor $G$ es el funtor de olvido que toma un semilatino completo (resp. un semilatino completo libre) y olvida la estructura para dar el conjunto de sus elementos.