Dejemos que $ (\hat i, \hat j, \hat k) $ sean vectores unitarios en coordenadas cartesianas y $ (\hat e_\rho, \hat e_\theta, \hat e_z)$ sea en coordenadas esféricas. Usando la relación, $$ \hat e_\rho = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial \rho}}{ \left | \frac{\partial \vec r}{\partial \rho} \right |}, \hat e_\theta = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial \theta}}{ \left | \frac{\partial \vec r}{\partial \theta} \right |}, \;\; \hat e_z = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial z}}{ \left | \frac{\partial \vec r}{\partial z} \right |} $$ Tenemos la relación $$\begin{bmatrix} \hat e_{\rho}\\ \hat e_{\theta}\\ \hat e_{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat i\\ \hat j\\ \hat k \end{bmatrix}$$ $$\text { Let } A = \begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ Para expresar los vectores unitarios de coordenadas cartesianas en coordenadas esféricas, el autor utiliza $$\hat i = \frac { \begin{vmatrix} \hat e_{\rho} & \sin \phi & 0\\ \hat e_{\theta} & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} }{|A|} \\ \hat j = \frac { \begin{vmatrix} \cos \phi & \hat e_{\rho} & 0\\ -\sin \phi & \hat e_{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} }{|A|} \\\hat k = \frac { \begin{vmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & \hat e_z \end{vmatrix} }{|A|} $$ Lo cual no puedo entender. ¿Puede alguien ayudarme a entenderlo? $$ \begin{bmatrix} \hat i\\ \hat j\\ \hat k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \hat e_{\rho}\\ \hat e_{\theta}\\ \hat e_{z} \end{bmatrix} $$ Parece intuitivo pero ciertamente la forma anterior es más rápida. Me gustaría saber por encima de la relación funciona si funciona. ¡¡¡Gracias!!!
Respuesta
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De hecho, los vectores unitarios son componentes del determinante , no el matriz $A$ . No hay nada malo en ello. El determinante es en realidad una forma lineal antisimétrica, por lo que todavía tienes cantidades vectoriales en ambos lados de la relación. EDITAR Tras un examen más detallado, las fórmulas no parecen del todo correctas. Según la regla de Cramer, el numerador debe parecerse al determinante del sistema con una columna sustituida por el lado derecho:
$$\hat i = \frac { \begin{vmatrix} \hat e_{\rho} & \sin \theta & 0\\ \hat e_{\theta} & \cos \theta & 0\\ \hat e_z & 0 & 1 \end{vmatrix} }{|A|} \\ \hat j = \frac { \begin{vmatrix} \cos \theta & \hat e_{\rho} & 0\\ -\sin \theta & \hat e_{\theta} & 0\\ 0 & \hat e_z & 1 \end{vmatrix} }{|A|} \\\hat k = \frac { \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta & \hat e_{\rho}\\ -\sin \theta & \cos \theta & \hat e_{\theta}\\ 0 & 0 & \hat e_z \end{vmatrix} }{|A|} $$ Que computacionalmente conducen al mismo resultado. El símbolo del ángulo polar debe ser coherente en todo momento.
