¿Lo que debería ser la intuición cuando se trabaja con consistencia?

Question

Tengo una pregunta que puede ser considerado por muchos como duplicado, puesto que hay un parecido de uno en MathOverflow. El punto es que creo que no estoy realmente en la idea de la compacidad. Quiero decir, en $\mathbb{R}^n$ el pacto conjuntos son aquellos que están cerrados y acotados, sin embargo, el hombre que contestó esta pregunta y su respuesta aceptada dice que la compacidad es algo de análogo de la finitud.

Ese es el primer problema: En mi visión intuitiva de la finitud, sólo boundeness sería suficiente para decir que un cierto subconjunto de $\mathbb{R}^n$ es, en cierto sentido, "finito". Por otro lado hay otra definición de compacidad (en términos de coberturas) que es el que realmente necesito para trabajar y no puedo ver cómo esa definición implica esta intuición en la finitud.

También, creo que es bastante extraño que la cubre prople utilizar cuando se quiere tratar con conjuntos compactos. Para probar que un conjunto es compacto sé que debe demostrar que para cada abierto de la cubierta hay un número finito de subcover, el problema es que yo no puede ver intuitivamente cómo se puede mostrar esto para cada cubierta. También cuando se trata de desvirtuar la compacidad de los libros que he leído de inicio de la presentación de extraño cubre que yo nunca habría pensado. Creo que mi problema es que no me llega aún la intuición de la compacidad.

Así, lo que la intuición debe que tenemos sobre conjuntos compactos en general y cómo deberíamos poner esta definición a utilizar?

Alguien puede proporcionar alguna referencia que muestran cómo entender el proceso de la prueba (y refutar) compacidad?

Answer 1

La siguiente historia puede o no ser útil. Supongamos que vivimos en un mundo donde hay dos tipos de animales: Foos, que son de color rojo y corto, y Bares, que son el azul y el alto. Naturalmente, en su idioma, la palabra de Foo a lo largo del tiempo ha llegado a referirse a las cosas que son de color rojo y corto, y la palabra de la Barra a lo largo del tiempo ha llegado a referirse a las cosas que son de color azul y de altura. (Su lenguaje no tiene palabras diferentes para el rojo, corto, de color azul, y de altura.)

Un día, un amigo tuyo te dice con entusiasmo que él ha descubierto un nuevo animal. "¿Qué es esto?" le preguntan. Él dice, "bueno, es una especie de Foo, pero..."

La razón por la que él dice que es una especie de Foo es que es corto. Sin embargo, no es rojo. Pero su lenguaje aún no tiene una palabra para "corto", así que se ha de introducir una nueva palabra - tal vez "pacto"...

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La situación con la compacidad es una especie de como el de arriba. Resulta que la finitud, que como si de un único concepto (de la misma manera que usted piensa de "Foo" como un concepto más arriba), es, en realidad, dos conceptos: discreto y compacto. Nunca has visto a estos conceptos separados antes, sin embargo. Cuando la gente dice que la compacidad es como la finitud, que significa que la compacidad captura parte de lo que significa ser finito, de la misma manera que la falta de capturas de parte de lo que significa ser Foo.

Pero en cierto sentido nunca has encontrado la noción de compacidad por sí mismo antes, aislado a partir de la noción de discreto (de la misma manera que anteriormente nunca has encontrado la noción de falta, de por sí, antes, aislado a partir de la noción de enrojecimiento). Esto es sólo un concepto nuevo y que hasta cierto punto, sólo tienen que lidiar con él en sus propios términos hasta llegar cómodo con él.

Answer 2

Usted puede leer varios descripciones y las consecuencias de la compacidad aquí. Pero ser conscientes de que la compacidad es una muy sutil concepto de finitud. La codificación definitiva de este concepto es un logro fundamental de $20^{\,\rm th}$ las matemáticas del siglo.

En el nivel intuitivo, un espacio es un gran conjunto $X$, donde algunos noción de proximidad o de barrio se ha establecido. Un espacio que $X$ es compacto, si usted no puede escapar de menos de $X$ sin ser atrapado. Para ser un poco más preciso: Supongamos que para cada punto $x\in X$ un guardia se coloca en $x$ puede encuesta cierto, tal vez pequeño, alrededor de $x$. Si $X$ es compacto, entonces usted puede hacer con un número finito (convenientemente elegido) guardias.

Answer 3

Me respondió muy similar pregunta aquí.

Recapitulando:

Compacidad hace de continuo las funciones de lo que la finitud no para las funciones en general.

Si un conjunto $A$ es finito, a continuación, cada una de las funciones $f:A\to \mathbb R$ tiene un máximo y un mínimo, y que cada función $f:A\to\mathbb R^n$ es acotada. Si $a$ es compacto, la cada continuo de la función de $a$ a $\mathbb R$ tiene un máximo y un mínimo y cada continuo de la función de $a$ a $\mathbb R^n$ es acotada.

Si $a$ es finito, a continuación, cada secuencia de los miembros de $Un$ tiene una larga que eventualmente es constante, y "eventualmente constante" es el único tipo de convergencia se puede hablar sin hablar de una topología en el set. Si $a$ es compacto, entonces cada secuencia[ red ] de los miembros de $Un$ ha convergente larga.

Answer 4

La definición de compacidad en la que se lee: "cada tapa tiene un número finito de subcover" está más directamente relacionado con la idea de que ser compacto es, en cierto sentido, como un ser finito: compacto conjuntos de compartir con finito establece la propiedad de que cada tapa tiene un número finito de subcover. Es un concepto que toma algún tiempo para acostumbrarse, así que a las primeras pruebas de las que puede parecer extraño.

Compacidad en $\mathbb R^n$ es equivalente a ser cerrado y acotado. De nuevo, esto es una propiedad compartida con finito de conjuntos: cualquier conjunto finito en $\mathbb R^n$ es cerrado y acotado. También, en un espacio métrico, un conjunto es compacto si, y sólo si, cada secuencia en la que ha convergente subsecuencias. De nuevo, una propiedad que se tiene para finito de conjuntos: Cada secuencia en un conjunto finito contiene convergente larga.

Por último, no es menos sencillo de analogía uso no estándar de análisis. Un conjunto es compacto si, y sólo si, cada punto en su ampliación es casi estándar. Intuitivamente, una ampliación de un conjunto se obtiene mediante la adición de nuevos puntos generados a partir del conjunto. Estar cerca estándar significa un nuevo punto es infinitamente cerca de una de las ya existentes punto en el conjunto. Para un conjunto finito, la ampliación es igual al conjunto, por lo que cada punto en la ampliación es simplemente igual a algún punto desde el set. Así que, de nuevo, esta es una propiedad compartida con compacto de conjuntos: un conjunto es compacto si cada punto de la ampliación es infinitesimalmente cerca de algún punto de la serie.

Answer 5

También, creo que es bastante extraño que cuando la gente viene a demostrar que un conjunto es compacto, deben demostrar que para cada abierto de la cubierta hay un número finito de subcover.

Eso es un poco como encontrar es bastante extraño que en el fin de demostrar que un entero $n$ es, incluso, uno debe demostrar que $n=2k$ para algún entero $k$: en ambos casos estamos simplemente la verificación de que algo no satisface la definición de una propiedad en particular. Un entero $n$ es, por definición, incluso si y sólo si existe un número entero $k$ que $n=2k$, por lo que la forma más sencilla de demostrar que $n$ es para demostrar que $k$ existe. Del mismo modo, un subconjunto de $K$ de un espacio de $X$ es, por definición, compacto si y sólo si toda cubierta abierta de $K$ tiene un número finito de subcover, por lo que la forma más sencilla de demostrar que $K$ es compacto, es demostrar que cada cubierta abierta de $K$ tiene un número finito de subcover.

Para la intuición, tenga en cuenta primero que todo conjunto finito es claramente compacto. Si $F$ es finito, y $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de $F$, entonces para cada $x\in F$ se puede elegir un $U_x\en\mathscr{U}$ tal que $x\in U_x$ y $\{U_x:x\F\}$ entonces será una subfamilia finita de $\mathscr{U}$ que todavía cubre $F$. De hecho, finito de conjuntos son sólo aquellos que están garantizados para ser compacto, no importa lo que la topología en el espacio podría ser: si la topología es la topología discreta, en la que cada conjunto es abierto, el pacto establece que son precisamente los conjuntos finitos. Por lo tanto, la compacidad generaliza una propiedad de los conjuntos finitos. Lo que probablemente no es del todo claro en este punto es ¿por qué esta propiedad en particular y finito de conjuntos es tan importante. De hecho, como se puede ver en esta breve reseña histórica de la encuesta, se tomó topologists un número de años para darse cuenta de su importancia central.

Más generalmente, se podría decir que los conjuntos compactos son en cierto sentido importante de pequeños conjuntos. Supongamos que cada punto de $x$ de algunas conjunto compacto $K$ ha abierto barrio $U_x$ con alguna propiedad $P$. Entonces $\mathscr{U}=\{U_x:x\in K\}$ es una cubierta abierta de $K$, por lo que tiene un número finito de subcover $\{U_{x_1},\dots,U_{x_n}\}$: $K\subseteq U_{x_1}\cup\ldots\copa U_{x_n}$. Si $P$ es uno de los un gran número de 'bonito' propiedades de la unión de un número finito de abrir conjuntos de tener $P$ también $P$ y $U_{x_1}\cup\ldots\copa U_{x_n}$ es entonces un barrio abierto de $K$, con la propiedad $P$. El conjunto compacto de $K$ se comporta como un único punto en términos de tener un abrir nbhd con $P$. La importancia de esta característica de los conjuntos compactos probablemente no realmente quedado claro hasta que usted realmente ha usado esta propiedad de conjuntos compactos en una variedad de contextos con una variedad de propiedades $P$, pero al menos debe ofrecer evidencia adicional de que la compacidad es, en cierto sentido, una especie de pequeñez.