Analizar una función con raíces cúbicas

Question

Estoy analizando esta función: \begin {alinear} f(x) = \sqrt [3]{ x } - \sqrt [3]{x+1} \end {align}

He demostrado que tiene una asíntota horizontal en y=0. Sin embargo, en la gráfica, tiene un mínimo para x=-0,5 pero no lo encuentro. La primera derivada no tiene ceros, así que la función no tiene puntos estacionarios. La segunda derivada tampoco tiene ceros. ¿Cómo puedo encontrar ese mínimo?

Answer 1

Debes haber tomado mal la primera derivada:

$$f'(x)=\frac13(x^{-2/3}-(x+1)^{-2/3})$$

Configuración $f'(x)=0$ ,

$$0=x^{-2/3}-(x+1)^{-2/3}$$

$$x^{-2/3}=(x+1)^{-2/3}$$

$$\pm x=x+1$$

$$x=-1/2$$

Answer 2

No olvides que los puntos críticos también se dan cuando la derivada es indefinida, siempre que el punto en cuestión esté en el dominio de la función original.

Desde $f(x) = x^{1/3} - (x+1)^{1/3}$ entonces $f'(x) = \dfrac13 x^{-2/3} - \dfrac13 (x+1)^{-2/3}$ .

Tenga en cuenta que $f'(x)$ es indefinido en $x=0$ y $x=-1$ y ambos están en el dominio de $f(x)$ por lo que puede haber extremos en esos lugares.