Campo de potencial vectorial para un hipotético monopolo magnético

Question

Se trata de una cuestión matemática con una posible interpretación física.

Me gustaría resolver la ecuación: $$ \vec{\nabla} \times \vec{A} = \frac{1}{r^2} \hat{r} \tag{1}$$

utilizando coordenadas esféricas $(A_r, A_{\theta}, A_{\phi})$ . La forma de la rotación $\vec{\nabla} \times$ en coordenadas esféricas puede encontrarse, por ejemplo, en la wikipedia.
Esto da 3 ecuaciones diferenciales y me pregunto si se pueden resolver.
Tenía la impresión de que habría muchos ejemplos, pero no encuentro ninguno.
La ecuación podría considerarse tal vez como el potencial vectorial de un hipotético punto-monopolo magnético.

• ¿Alguien sabe una solución o por qué no es posible?

Answer 1

Describir un monopolo magnético es un problema de Electromagnetismo Clásico: esencialmente, si se tiene un monopolo magnético, entonces $\nabla \cdot \mathbf{B} \neq 0$ lo que significa que ya no podemos definir un potencial vectorial $\mathbf{A}$ ya que, si se recuerda, fue precisamente el hecho de que la divergencia de $\mathbf{B}$ era siempre cero en las ecuaciones de Maxwell que nos permitían escribir $\mathbf{B = \nabla \times A}$ .

Dirac llegó a una solución para un monopolo (descrita de forma accesible aquí ), pero tiene sus propios "problemas": a diferencia de un monopolo eléctrico que sólo es singular en un punto (" $r=0$ "), la solución del "monopolo magnético" resultó ser singular a lo largo de una línea infinita. (Resulta que hay dos maneras de ver esto, ya sea como una "sucesión" de dipolos (izquierda), o un solenoide semi-infinito fuertemente enrollado (derecha), ambos extendiéndose hasta el infinito, como se muestra en la figura siguiente. Véase Electrodinámica de Jackson "6.11 Sobre la cuestión de los monopolos magnéticos " para más detalles, y una descripción completa de la imagen más abajo).

Un sistema como éste no puede ser descrito por un único potencial vectorial en todo el espacio, precisamente porque es singular en este sentido. Sin embargo, resulta que se puede definir un potencial vectorial que describa casi en todo el espacio (excepto a lo largo del propio monopolo).

$$\mathbf{A} = g\left(\frac{1 - \cos{\theta}}{r \sin \theta} \right)\hat{\mathbf{\varphi}}.$$

Tal potencial produciría efectivamente un campo magnético $$\mathbf{B} = \frac{g}{r^2}\hat{\mathbf{r}},$$

pero es singular a lo largo de la línea $\theta = \pi$ que es la "dirección" en la que suponemos que está el monopolo. Esta singularidad se conoce como "Cuerda de Dirac". Puedes leer más sobre ella aquí . (El argumento real es un poco más complicado, contiene dos "parches", uno para el hemisferio superior y otro para el inferior, dependiendo de la posición del punto que se considere y demás, pero es demasiado complicado para esta discusión. Si te interesa, puedes encontrar más información en Internet).

Uno de los resultados curiosos del monopolo de Dirac fue que demostró que si existía un solo monopolo magnético en el universo, explicaría por qué la carga se cuantificaba. Lo cual es genial...

Answer 2

Se puede encontrar una solución en la mayor parte del espacio, pero no en todo el espacio. Para ver por qué, imagina que tomas la integral de flujo de $\vec{B} = \hat{r}/r^2$ sobre la superficie de una esfera $S$ de radio $r$ . La realización de esta integral es sencilla y da como resultado $$ \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{a} = 4\pi. $$ Supongamos ahora que existe un campo vectorial $\vec{A}$ tal que $\vec{\nabla} \times \vec{A} = \vec{B}$ . Esto implica que $$ 4\pi = \iint_S (\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot d\vec{a}. $$ Pero según el teorema de Stokes, siempre podemos sustituir la integral del rizo de un campo vectorial sobre una superficie por una integral de línea alrededor del límite de la superficie $\partial S$ : $$ \iint_S (\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot d\vec{a} = \oint_{\partial S} \vec{A} \cdot d\vec{l}. $$ El problema es, por supuesto, que la superficie de una esfera ¡no tiene límites! Esto significa que $\partial S$ está vacía, la integral desaparece, y concluimos que $$ 4\pi = \iint_S (\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot d\vec{a}= \oint_{\partial S} \vec{A} \cdot d\vec{l} = 0, $$ que es una contradicción. [cita requerida]

Si realmente quieres trabajar con un potencial vectorial para un monopolo, entonces, tienes que evitar encerrarlo en una superficie esférica. Una forma conocida de hacerlo es "eliminar" el negativo $z$ -eje ( $\theta = \pi$ ) del espacio que estás considerando. En ese caso, $S$ nunca puede ser una esfera completa; sólo puede ser una esfera menos una pequeña "perforación" en el polo sur, y el límite alrededor de esa perforación significa que ya no tenemos necesariamente $\oint_{\partial S} \vec{A} \cdot d\vec{l} = 0$ . En particular, si se define entonces $$ \vec{A} = \frac{1 - \cos \theta}{r \sin\theta} \hat{\phi} = \frac{\tan \frac{\theta}{2}}{r} \hat{\phi}, $$ entonces no es difícil demostrar que $\vec{\nabla} \times \vec{A} = \hat{r}/r^2$ . Sin embargo, como podemos ver, $|\vec{A}| \to \infty$ como $\theta \to \pi$ lo que significa que este potencial vectorial no puede extenderse por todo el espacio.

Answer 3

No es posible porque la divergencia del lado izquierdo de su ecuación es idénticamente cero mientras que la divergencia del lado derecho es una función delta de Dirac en el origen.

Answer 4

La ecuación $$\vec{\nabla}\times\vec{A} = \frac{1}{r^2} \hat{r}$$ no tiene solución. Se puede demostrar de la siguiente manera. Aplicar el operador de divergencia ( $\vec{\nabla}\cdot$ ) a la ecuación anterior. Se obtiene $$\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A}) = \vec{\nabla}\cdot\frac{1}{r^2}\hat{r}$$

El lado izquierdo es cero para cada $\vec{A}$ , porque la divergencia del rizo es cero . El lado derecho es un Función delta de Dirac como se deriva, por ejemplo en " Divergencia de $\vec{f} = \frac{1}{r^2} \hat{r}$ ". Por lo tanto, obtenemos $$0 = 4\pi\delta(\vec{r}),$$ lo que obviamente es una contradicción.

Answer 5

Aplicar el operador de divergencia $\nabla\cdot$ en ambos lados de la ecuación de OP. (1). El lado izquierdo desaparece de forma idéntica, pero el lado derecho es proporcional a la 3D Distribución delta de Dirac . Así que la ec. (1) es inconsistente en el origen.