¿Cuál es el significado de un Trivector?

Question

Cuando tomamos el producto cuña de 3 vectores el resultado es, $$ {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})} $$

La parte escalar es el volumen del paralelepípedo y la parte trivectorial es la "dirección" de ese volumen. Pero, ¿qué significa eso en absoluto?

No tengo ningún problema con las líneas direccionales como los vectores, las usamos en muchos campos y son bastante útiles.

Pero en el caso de los volúmenes direccionales es realmente difícil de imaginar.

¿Se utilizan prácticamente en cualquier ámbito? ¿Y qué representan en el mundo real?

Answer 1

Trivectores en $\mathbf{R}^3$ tal vez no sean que interesante, como un llanero que vive en $\mathbf{R}^2$ tal vez le cueste ver qué sentido tienen los bivectores. Después de todo, en $\mathbf{R}^2$ cualquier producto de cuña $\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}$ simplemente es igual a una constante por el bivector $\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2$ (y esa constante es, por supuesto, más o menos el área del paralelogramo cuyas aristas vienen dadas por los vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ ).

Pero en $\mathbf{R}^3$ el producto de la cuña $\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}$ es más interesante, ya que de alguna manera representa una "dirección bidimensional", el subespacio (o plano) abarcado por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ (con una orientación). Y aquí hay infinitos subespacios bidimensionales de este tipo, no sólo uno como en $\mathbf{R}^2$ .

Del mismo modo, en dimensiones superiores, como en $\mathbf{R}^4$ para empezar, un producto de triple cuña $\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w}$ no sólo tiene una magnitud (el volumen tridimensional dado por los tres vectores), sino que también representa una "dirección tridimensional", es decir, el subespacio (orientado) abarcado por $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ . Y aquí hay infinitos subespacios tridimensionales, no sólo uno como en $\mathbf{R}^3$ .

Dicho esto, los bivectores ya son conceptualmente útiles en $\mathbf{R}^2$ . Por ejemplo, se puede utilizar un número complejo $a+ib$ para girar otro número complejo $c+id$ (por multiplicación), pero es conceptualmente mejor utilizar el bivector $a+b \mathbf{I}$ (donde $\mathbf{I}=\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2$ ) para girar el vector $c \mathbf{e}_1 + d \mathbf{e}_2$ (por conjugación), ya que así es como funcionan las rotaciones en dimensiones superiores, donde los objetos algebraicos que representan las rotaciones son de un tipo diferente a los vectores que se rotan. Y también es bueno tener trivectores en $\mathbf{R}^3$ ya que tienen un papel natural en el álgebra de Clifford.