¿Conjunto compacto en R que no es convexo?

Question

Sólo necesito un ejemplo. Por ejemplo, sé que el conjunto [0,1] es compacto porque es obviamente cerrado y acotado. Pero no tengo ni idea de cómo comprobar la convexidad

Answer 1

Un conjunto es en $\mathbb{R}^n$ es convexo si y sólo si el segmento de línea entre dos puntos cualesquiera del conjunto está contenido en el conjunto. En $\mathbb{R}$ , eso sólo significa que el conjunto es conexo, o lo que es lo mismo, un intervalo. Cualquier conjunto compacto que no sea conexo no es convexo.

Answer 2

Por ejemplo $K=[0,1]\cup[2,3]$ . No es convexo, porque el intervalo $[1,2]\not\subset K$ , aunque sus extremos están en $K$ .

Answer 3

Los conjuntos convexos están conectados. Los únicos subconjuntos conexos de la línea son los intervalos. Los únicos subconjuntos compactos y conexos de la recta son los intervalos cerrados y acotados (incluidos los puntos individuales). Muchos subconjuntos de la recta son compactos pero no convexos (basta con tomar dos puntos).