En un maravilloso curso que estoy tomando con Magidor estamos terminando la demostración del Teorema de Cobertura para $L$ .
El teorema, en pocas palabras, dice que $V$ está muy cerca de ser $L$ si y sólo si $0^\#$ no existe.
Es coherente que no existan grandes cardenales y $V\neq L$ y es coherente que haya inaccesibles, Mahlo, débilmente compactos, inefables, etc. y sin embargo $V=L$ .
Por otro lado, si existe un cardinal medible entonces $V\neq L$ como nos dice Scott, y de hecho un cardenal de Ramsey es suficiente para ello. De esta manera vamos afinando poco a poco las exigencias hasta llegar a la definición de $0^\#$ .
Mi pregunta es, básicamente, si hay una noción más débil que $0^\#$ en términos de consistencia de grandes axiomas cardinales, lo cual es inconsistente con $V=L$ ?
Conozco el teorema de que un supercompacto implica $\forall A(V\neq L[A])$ . ¿Hay alguna otra forma de medir lo lejos que estamos de $L$ o $HOD$ o incluso $HOD[A]$ para algunos o todos $A$ ?
