Demuestre que para una matriz $A$ hay una secuencia de matrices totalmente clasificadas $\{ A_l \}_{l=1}^{\infty}$ tal que $|| A-A_l||_2 \to 0$

Question

Dejemos que $A$ ser un $m$ x $n$ matriz. Necesito demostrar que existe una secuencia de matrices totalmente clasificadas $\{ A_l \}_{l=1}^{\infty}$ tal que $$|| A-A_l||_2 \to 0$$

Creo que tengo que usar aquí $SVD$ descomposición $A = U\Sigma V^*$ , es decir, utilizar las matrices $[A]_k$ cuando tomamos la primera $k$ columnas de $U$ El primer $k$ valores singulares en $\Sigma$ y la primera $k$ filas de $V^*$ .

El problema aquí es que la secuencia es finita, así que no estoy muy seguro de cómo funciona. Tal vez sólo pueda denotar $A_l = [A]_r$ por cada $l \ge r$ cuando $r = rank(A)$ .

Se agradecería la ayuda.

Answer 1

Prácticamente cualquier modificación aleatoria de $A$ tiene un rango completo, no es necesario utilizar herramientas complicadas como el SVD. Sin embargo, si quiere ir por ese camino, utilice $$ A_l=U(Σ+I/l)V^∗, $$ asumiendo que el SVD es de tipo económico, $Σ$ cuadrado de tamaño $\min(m,n)$ .