¿Generalización de una función de paso de paseo aleatorio sobre Z?

Question

Consideremos el paseo aleatorio sobre $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ con probabilidades de transición $$ p_{i,j}= \begin{cases} p & \text{if } j=i+1,\\ 1-p &\text{if } j=i-1,\\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} $$ Encuentre $p_{i,j}^{(n)}=P(X_n=j \mid X_0=i)$ y deducimos que el paseo aleatorio es irreducible.

¿Debo derivar una fórmula general similar a un modelo binomial con árboles recombinantes y luego demostrarlo por inducción o qué? ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Denotemos que esta cadena de Markov es $\{X_{n}, n\in\mathbb{N}\}$ .

Supongamos que la cadena de Markov es irreducible. Entonces todos los estados se comunican entre sí. Así que $1-p=P_{i,i-1}>0$ y $p=P_{i,i+1}>0$ . Así, $p\in(0,1)$ .

Supongamos que el $p\in(0,1)$ . Para cualquier estado $x, y\in \mathbb{Z}$ con $x>y$ denotamos $n=x-y$ . Tenga en cuenta que para algunos $n\geq 0$ , $$P^{n}_{xy}=\mathbb{P}(X_n=y\mid X_{0}=x)\geq \mathbb{P}(X_{0}=x, X_1=x-1, X_2=x-2, \cdots, X_n=y)=(1-p)^n>0$$

De la misma manera, $$P^{n}_{yx}=\mathbb{P}(X_n=x\mid X_{0}=y)\geq \mathbb{P}(X_{0}=y, X_1=y+1, X_2=y+2, \cdots, X_n=x)=p^n>0.$$

Así que todos los estados se comunican claramente entre sí, lo que implica que esta cadena de Markov es irreducible.