Dejemos que $A_{n \times n}$ ser un $n$ por $n$ con todas las entradas iguales a $\pm 1$ . Quiero mostrar $\text{det}(A)$ es divisible por $2^{n-1}$ . ¿Cómo puedo valorar esto?
Respuestas
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Después de un paso del algoritmo de Gauß, la matriz tiene el siguiente aspecto
$$\begin{pmatrix}\pm 1 & \star \\ 0 & B\end{pmatrix},$$
donde $B$ es una matriz cuyas entradas están todas en $\{0, \pm 2\}$ . Así, puede utilizar Mostrar $\text{det}(A)$ es divisible por $a^n$ .
quasi
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Para $n = 1$ La afirmación es obviamente cierta.
Proceda por inducción.
Supongamos que la afirmación se cumple para un número entero positivo dado $n$ .
Dejemos que $A = (a_{ij})$ ser un $(n + 1) \times (n+1)$ matriz tal $|a_{ij}| = 1$ para todos $i,j$ .
Mediante cambios sucesivos, una entrada a la vez, cambiar las entradas de $A$ para que todos sean iguales a $+1$ . En otras palabras, en cada etapa, encuentre una entrada de $A$ si lo hay, que es igual a $-1$ (no importa cuál), y cambiar el valor de $-1$ a $+1$ , dando lugar a una nueva matriz $A^\prime$ .
Entonces $|\text{det}(A^\prime) - \text{det}(A)| = |2c_{ij}|$ , donde $c_{ij}$ es el cofactor de $A$ en la fila $i$ , columna $j$ .
Por la hipótesis inductiva, $2^{n-1}\,|\,c_{ij}$ Por lo tanto $2^n|(\text{det}(A^\prime) - \text{det}(A))$ .
Equivalentemente, $\text{det}(A^\prime) \equiv \text{det}(A) \pmod {2^n}$ .
Así, a medida que avanzan las transiciones, los determinantes mod $2^n$ se mantiene igual.
Pero al final de todas las transiciones, la matriz final es la $(n + 1) \times (n+1)$ matriz de todos los unos, por lo tanto (siendo singular) tiene deteminante $0$ .
De ello se desprende que $\text{det}(A) \equiv 0 \pmod {2^n}$ Por lo tanto $2^n\,|\,\text{det}(A)$ , lo que completa la inducción.
