calcular las soluciones enteras de una ecuación

Question

¿Cómo se calculan las "soluciones enteras" de una ecuación en este ejemplo?

$$ x(x+1) + 62 = y^2 $$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*%28x%2B1%29%2B62%3Dy%5E2

aquí las soluciones enteras son :
$x = -62$ , $y= 62$
$x = -2$ , $y= 8$
$x = 1$ , $y= 8$
$x = 61$ , $y= 62$

¿Cómo consiguen $8$ ?

Answer 1

Sugerencia

La ecuación puede escribirse como $$(2x+1)^2-(2y)^2=-247 \implies (2x+1-2y)(2x+1+2y)=-247.$$ Tenga en cuenta que $247=13 \cdot 19$ . Así que los pares de factores son $(1,247), \, (13,19)$ .

Answer 2

Multiplícalo por 4: $$4x^2+4x+248=4y^2$$ así que $$(2x+1)^2+247 = 4y^2$$ y por lo tanto $$4y^2-(2x+1)^2=247$$

¿Puedes terminar ahora?