Posición y orientación del sistema de coordenadas local con respecto a otro sistema de coordenadas local (ambos descritos en el sistema de coordenadas mundial)

Question

Puede que esta pregunta se haya respondido antes, pero no he podido encontrar una que describa mejor mi problema, o antes de confundirme.

La siguiente imagen muestra tres sistemas de coordenadas: un sistema de coordenadas mundial, W y dos sistemas de coordenadas locales A y B descritas en el sistema de coordenadas mundial en términos de su posición, T y la orientación en formato de cuaterniones, Q (todo ello relativo a W ):

Sistemas de coordenadas en el espacio 3D

• $T_A$ - posición del origen del sistema de coordenadas A en el sistema de coordenadas mundial, W .
• $T_B$ - posición del origen del sistema de coordenadas B en el sistema de coordenadas mundial, W .
• $Q_A$ - orientación del sistema de coordenadas A en (con referencia a) el sistema de coordenadas mundial, W (en cuaterniones).
• $Q_B$ - orientación del sistema de coordenadas B en el sistema de coordenadas mundial, W (en cuaterniones).
• $t_{BA}$ - posición del origen del sistema de coordenadas B , dentro de (con referencia a) el sistema de coordenadas A .
• $q_{BA}$ - orientación del sistema de coordenadas B descrito en términos de (con referencia a) el sistema de coordenadas A .

Me gustaría conseguir $t_{BA}$ y $q_{BA}$ (con referencia al sistema de coordenadas A )? O básicamente, la posición y orientación del sistema de coordenadas B desde la perspectiva de un observador situado en (y dentro) del sistema de coordenadas A .

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Así es como se puede descubrir que $t_{BA} = T_B - T_A$ y $q_{BA}=(Q_A)^{-1}Q_B$ :

Dejemos que $\mathbf{x_P^W}= (x^W_P,y^W_P,z^W_P)$ sean las coordenadas $(x^W_P,y^W_P,z^W_P)$ o la posición $\mathbf{x_P^W}$ de cualquier punto $P$ medido a lo largo del $x$ -, $y$ - y $z$ -eje del sistema de coordenadas mundial $W$ . Si el $x$ -, $y$ - y $z$ - coordenadas o las posiciones de los orígenes $0_A$ y $0_B$ de los sistemas de coordenadas $A$ y $B$ con respecto al sistema de coordenadas mundial $W$ son $\mathbf{x_{0_A}^W} = (x_{0_A}^W,y_{0_A}^W,z_{0_A}^W)$ y $\mathbf{x_{0_B}^W} = (x_{0_B}^W,y_{0_B}^W,z_{0_B}^W)$ entonces la posición del arbitrario punto $P$ con respecto a $A$ y $B$ se puede calcular como (sólo adición de vectores en $A$ o en $B$ )

$$\mathbf{x_P^A}= -\mathbf{x_{0_A}^W}+\mathbf{x_P^W}=(x^W_P-x_{0_A}^W,y^W_P-y_{0_A}^W,z^W_P-z_{0_A}^W)$$

$$\mathbf{x_P^B}= -\mathbf{x_{0_B}^W}+\mathbf{x_P^W}=(x^W_P-x_{0_B}^W,y^W_P-y_{0_B}^W,z^W_P-z_{0_B}^W)$$

Ahora arregla este punto $P$ y hacerla igual al origen $0_B$ del sistema de coordenadas $B$ , dejemos que $\mathbf{x_P^W}=\mathbf{x_{0_B}^W}=(x_{0_B}^W,y_{0_B}^W,z_{0_B}^W)$ entonces las ecuaciones anteriores se convertirán en

$$\mathbf{x_{0_B}^A}= -\mathbf{x_{0_A}^W}+\mathbf{x_{0_B}^W}=(x_{0_B}^W-x_{0_A}^W,y_{0_B}^W-y_{0_A}^W,z_{0_B}^W-z_{0_A}^W)$$

$$\mathbf{x_{0_B}^B}= -\mathbf{x_{0_B}^W}+\mathbf{x_{0_B}^W}=(x_{0_B}^W-x_{0_B}^W,y_{0_B}^W-y_{0_B}^W,z_{0_B}^W-z_{0_B}^W)$$

La primera ecuación dice: el $x$ -, $y$ - y $z$ -coordenadas del origen $0_B$ del sistema de coordenadas $B$ medido a lo largo del $x$ -, $y$ - y $z$ -eje del sistema de coordenadas $A$ son $$(x_{0_B}^W-x_{0_A}^W,y_{0_B}^W-y_{0_A}^W,z_{0_B}^W-z_{0_A}^W)$$

La segunda ecuación dice: el $x$ -, $y$ - y $z$ -coordenadas del origen $0_B$ del sistema de coordenadas $B$ medido a lo largo del $x$ -, $y$ - y $z$ -eje del sistema de coordenadas $B$ son $$(0,0,0)$$

Mira aquí y aquí y aquí y aquí para obtener información sobre la orientación. Acabo de encontrar esto presentación en powerpoint parte 1 de 2 y presentación en powerpoint parte 2 de 2 (ver página 19) que está afirmando que:

Si $Q_A^W$ es el cuaternión para la orientación del marco de referencia $A$ en relación con algún marco de referencia base $W$ y $Q_B^W$ es el cuaternión para la orientación de otro marco de referencia $B$ en relación con ese mismo marco de referencia base $W$ entonces $Q^{A}_{B}=(Q_A)^{-1}Q_B$ es un cuaternión para la orientación del marco de referencia $B$ en relación con el marco de referencia $A$ donde $Q_A^{-1}$ es inversa de $Q_A$ (si los cuaterniones son cuaterniones unitarios, entonces $Q^{-1}=Q^{*}$ ( conjugar )).