Evaluación del límite con suma hasta el infinito.

Question

La cuestión a resolver es:

$$ \lim_{n \to \infty} \left( \ \sum_{k=10}^{n+9} \frac{2^{11(k-9)/n}}{\log_2 e^{n/11}} \ - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{58}{\pi\sqrt{(n-k)(n+k)}} \ \right)$$

Lo primero que se me ocurrió fue transformar los límites en integrales definidas usando la definición de límite de las integrales, así será más fácil de evaluar.

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo convertirlas en integrales definidas. ¿Podría alguien arrojar algo de luz sobre cómo proceder? ¿O hay una forma mejor de resolver este problema?

Answer 1

$$ \lim_{n \to \infty} \left( \ \sum_{k=10}^{n+9} \frac{2^{11(k-9)/n}}{\log_2 e^{n/11}} \ - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{58}{\pi\sqrt{(n-k)(n+k)}} \ \right)$$

Al poner $k=m+9$ en la primera suma, obtenemos \begin {align} \sum_ {k=10}^{n+9} \frac {2^{11(k-9)/n}}{ \log_2 e^{n/11}} &= \frac 1{ \log_2 e^{n/11}} \sum_ {m=1}^{n}(2^{11/n})^m \\ &= \frac 1{ \log_2 e^{n/11}} \frac {(2^{11/n})^{n+1}-2^{11/n}}{2^{11/n}-1} \\ &= \frac {11 \log (2)}{n} \frac {2^{11/n}(2^{11}-1)}{2^{11/n}-1} \\ &= \frac {11 \log (2)}{n} \frac {2^{11/n}(2^{11}-1)}{e^{11/n \log (2)}-1} \\ & \sim\frac {11 \log (2)}{n} \frac {2^{11}-1}{11/n \log (2)} \\ & \xrightarrow {n \to\infty }2^{11}-1 \end {align} Para la segunda suma \begin {align} \sum_ {k=0}^{n-1} \frac {58}{ \pi\sqrt {(n-k)(n+k)}} &= \frac {58} \pi\sum_ {k=0}^{n-1} \frac 1{ \sqrt {1-( \frac kn)^2}} \frac 1n \\ & \xrightarrow {n \to\infty } \frac {58} \pi\int_0 ^1 \frac { \mathrm dx}{ \sqrt {1-x^2}} \\ &= \frac {58} \pi\frac\pi 2 \\ &= 29 \end {align}

Answer 2

Para convertir una suma en integral definida :
Convierte tu suma teniendo límites $a$ a $b$ a la forma $f(k/n) * 1/n$ . Toma $k/n$ como $x$ , $1/n$ como $dx$ y establecer los límites como $\frac{a}{n}$ y $\frac{b}{n}$ . En realidad es la suma de todos los rectángulos pequeños (verticales) cuando rompemos el área bajo una curva en pequeños rectángulos de anchura $\frac{1}{n}$ .

Para el primer término, simplifique el denominador y tome $k-9=t$ . El primer término se convierte en $2^{11\frac{t}{n}}$ $\frac{11\ln2}{n}$ . Ahora puedes convertirla en una integral definida y evaluarla. (Resulta ser $2^{11} - 2^0$ ). Para el segundo término, quita "n" del denominador y conviértelo en una integral para obtener $29$ . La respuesta es "este año".

Answer 3

La primera suma es esencialmente una serie geométrica, y con $j:=k+9$ ,

$$\frac{2^{11(k-9)/n}}{\log_2 e^{n/11}}=\frac{\left(2^{11/n}\right)^j}{\dfrac{n}{11}\log_2e}.$$

Entonces, sumando desde $1$ a $n$ ,

$$\frac{2^{11/n}(2^{11}-1)}{\dfrac n{11}\log_2e(2^{11/n}-1)}.$$

Como

$$2^{11/n}-1=e^{11\ln2/n}-1=1+\frac{11\ln2}{ n}+\cdots-1,$$ el límite se reduce a $2^{11}-1$ .

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Como una integral, $$\frac{2^{11(k-9)/n}}{\log_2 e^{n/11}}\to 11\ln2\,2^{11x}dx$$ que se integra como $2^{11x}$ , de $0$ a $1$ .