Tengo muchos problemas para responder a esta pregunta:
Defina una secuencia recursivamente como sigue. $x_1 = 1$ y para $n ∈ N, x_{n+1} = \sqrt{(x_n)^2 + 1/(x_n)^2}$
Demostrar mediante inducción matemática que para todo n ∈ N, $ 1 ≤ x_n ≤\sqrt{n}$
Para resolver esta pregunta, creo que es necesario encontrar una fórmula cerrada para esta secuencia recursiva, pero no puedo encontrar esa fórmula.
Caso base, claro.
Hipótesis de inducción: Supongamos que $1 \leq x_n \leq \sqrt{n}$ para todos $n \leq m$ .
Paso de inducción: Considerar $x_m$ . Observamos que $$x_m = \sqrt{(x_{m-1})^2 + \frac{1}{(x_{m-1})^2}}\leq \sqrt{(x_{m-1})^2 + 1} \leq \sqrt{(\sqrt{m-1})^2 +1} = \sqrt{m }$$
El " $ 1 \leq$ "es más fácil y se deja para que usted lo resuelva. Fíjate en que no hemos necesitado encontrar una fórmula de forma cerrada.
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