Demostrar que la varianza de la expectativa es mayor que la varianza de la media muestral.

Question

Tenemos variables aleatorias independientes $X_1,\cdots,X_n$ con $\mathbb{E}[X_i]=\mu$ y $Var[X_i]=\sigma^2$ $\forall i$ y la variable aleatoria $Z$ definido como

$Z=\sum_{i=1}^{n}c_iX_i$

En la parte anterior de la pregunta, se nos pide una condición sobre la constante $c_i$ que hace que $Z$ y la estimación insesgada de $\mu$ que obtuve como $\sum c_i=1$

La parte final en la que estoy atascado requiere que demostremos que $Var[Z]\geq Var[\bar{X}]$ donde $\bar{X}$ es la media de la muestra.

Mis sospechas son que el objetivo de la pregunta es demostrar que la varianza de la expectativa es siempre mayor igual a la varianza de la media muestral (Aunque podría estar equivocado).

He intentado empezar con la desigualdad de Cauchy Schwarz

$|\sum X_ic_i|\leq \sqrt{\sum X_i^2}\sqrt{\sum c_i^2}$

$Z^2\leq \sum X_i^2\cdot\sum c_i^2$

pero parece que no se puede llegar a ninguna parte.

Answer 1

La desigualdad $Var[Z] \ge Var[\bar{X}]$ puede reducirse a la desigualdad: $$\sum_{i=1}^{n} c_i^2 \ge \frac{1}{n}.$$ ( $c_i$ suma hasta 1)

Esto se puede demostrar utilizando la desigualdad de Jensen (en forma finita), tomando $f(x) = x^2$ , pesos $\lambda_i = \frac{1}{n}$ y argumentos $x_i = c_i$ .

Answer 2

Desde el $X_i$ son independientes, $$ \operatorname{var}{(Z)} = \sum_i \operatorname{var}{(c_i X_i)} = \sigma^2\sum_i c_i^2. $$ Mientras tanto, $\operatorname{var}{(\bar{X})} = \sigma^2/n$ . Pero $$ \frac{1}{n} = \frac{1}{n}\sum_i c_i \leq \frac{1}{n}\left( \sum_i 1 \right) \left( \sum_i c_i^2 \right) = \sum_i c_i^2, $$ por Cauchy-Schwarz, y el resultado se sigue, con igualdad si todos $c_i=1/n$ .