¿Se pueden encontrar tres $10\times 10$ ¿Cuadrados latinos mutuamente ortogonales?
¿Alguien sabe si existe un "truco" matemático para encontrar cuadrados latinos mutuamente ortogonales? ¿O se trata básicamente de ensayo y error?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
jwarzech
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Aunque se conocen pares de MOLS de orden 10 ("spoilers de Euler"), la existencia de tres cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden 10 es un problema abierto.
Puede encontrar algunos detalles de las búsquedas por ordenador en Tesis de maestría de Erin Delise (2005) . Obsérvense las dos primeras entradas bibliográficas, correspondientes a Bose, Chakravarti y Knuth (1960-61).
Hay "trucos" para reducir el espacio de búsqueda general, pero sigue siendo de un tamaño formidable a pesar de sus numerosas simetrías. Se puede suponer que la primera fila de las tres matrices es $(1,2,3,\ldots,10)$ y el número de cuadrados latinos individuales de orden 10 con esta primera fila fija es 2750892211809148994633229926400. Podemos restringir aún más la primera columna de los primeros (de los tres) cuadrados latinos para que sea $(1,2,3,\ldots,10)^T$ ahorrando un factor de $9!$ en el tamaño del espacio de búsqueda.
Una vez que se ha fijado un par inicial de MOLS, es posible realizar una búsqueda exhaustiva por ordenador del tercer MOLS de orden 10. Muchos intentos en esta línea han fracasado, aunque Franklin (1983) informó de un triple "casi ortogonal"; véase Mohan, Lee y Pokhrel (2006) para consultar algunas referencias bibliográficas.
Un conjunto de 9 cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden 10 equivaldría a la existencia de un plano proyectivo finito de orden 10, pero Lam (1991) informó de que los resultados de una exhaustiva búsqueda informática demostraban que esto era imposible.
mick
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http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix#Elementary_constructions
Hay una sección sobre construcciones elementales en la referencia favorita de todos. Por ejemplo, la matriz identidad es ortogonal, y al intercambiar dos filas sigues teniendo una matriz ortogonal.
