Si $A$ es una matriz semidefinida positiva ( $A\succeq 0)$ ¿implica que $\mbox{Tr}(A)\geq 0$ donde el $\mbox{Tr}(\cdot)$ denota la traza.
Si no es así, ¿algún contraejemplo? Gracias.
Sí, ya que traza = suma de elementos diagonales.
Respuestas
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Jukka Dahlbom
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Supongamos que $A = [a_{ij}]_{i,j=1}^n$ es tal que $a_{ii} < 0$ para algunos $i$ . Sea $e_i$ sea el $i$ vector de base estándar; es decir, $$ e_i = (\overbrace{0,\cdots,0}^{i-1},1,0,\dots,0) $$ entonces $e_i^T Ae_i = a_{ii} < 0$ lo que significa que $A$ no es semidefinida positiva.
Por lo tanto, si $A$ es semidefinida positiva, entonces todos los elementos diagonales son no negativos, lo que significa que la traza es no negativa.
Lauritz V. Thaulow
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user153012
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Supongamos que una matriz tiene un elemento diagonal negativo. ¿Puedes ver que la matriz no puede ser semidefinida positiva?
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Sé que lo más probable es que esta afirmación sea errónea, pero no he podido encontrar un contraejemplo.
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@MIMIGA la afirmación es correcta: si $A \succeq 0$ entonces $\mathrm{Tr}(A) \geq 0$ .
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@Omnomnomnom ¿Es cierto lo contrario? Esto es, si $\mbox{Tr}(A)\geq 0$ entonces $A\succeq 0$ .
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@DiegoFonseca No. Considerar $$ A = \pmatrix{2&0\\0&-1} $$
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@Omnomnomnom Pero $A=\left(\begin{array}{l}2&0\\0&-1\end{array}\right)$ is not positive semidefinite matrix. Note that for $x=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$ tenemos $x^{T}Ax\leq 0$ .
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@Diego exactamente, así que esto demuestra que lo contrario no es cierto.
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Aunque todos los elementos diagonales sean $\ge0$ no necesitamos tener $A\succeq0$ . Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . En $\det A=-3$ , $A$ tiene un valor propio negativo $s$ Por lo tanto $x^* Ax=x^*sx=s|x|^2<0$ para un vector propio correspondiente $x$ . (Esto también demuestra que $A\succeq0$ implica $\sigma(A)\subset[0,\infty)$ .