Relación entre la distribución gamma y la chi-cuadrado

Question

Si $$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$$ donde $X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ es decir, todos $X_i$ son variables aleatorias normales i.i.d. de media cero con las mismas varianzas, entonces $$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$$

Sé que la distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma, pero no he podido derivar la distribución chi-cuadrado para la variable aleatoria $Y$ . ¿Alguna ayuda, por favor?

Answer 1

Algunos antecedentes

En $\chi^2_n$ se define como la distribución que resulta de sumar los cuadrados de $n$ variables aleatorias independientes $\mathcal{N}(0,1)$ así que..: $$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$$ donde $X\sim Y$ denota que las variables aleatorias $X$ y $Y$ tienen la misma distribución (EDIT: $\chi_n^2$ denotará tanto una distribución Chi cuadrado con $n$ grados de libertad y una variable aleatoria con tal distribución ). Ahora, el pdf del $\chi^2_n$ distribución es $$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $ 0 $ otherwise).}$$ Así que, efectivamente, el $\chi^2_n$ es un caso particular de la distribución $\Gamma(p,a)$ distribución con pdf $$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $ 0 $ otherwise).}$$ Ahora está claro que $\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$ .

Su caso

La diferencia en tu caso es que tienes variables normales $X_i$ con varianzas comunes $\sigma^2\neq1$ . Pero en ese caso se produce una distribución similar: $$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$$ así que $Y$ sigue la distribución resultante de multiplicar a $\chi_n^2$ variable aleatoria con $\sigma^2$ . Esto se obtiene fácilmente con una transformación de variables aleatorias ( $Y_2=\sigma^2Y_1$ ): $$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$$ Tenga en cuenta que esto es lo mismo que decir que $Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$ desde $\sigma^2$ pueden ser absorbidos por los Gamma $a$ parámetro.

Nota

Si desea derivar el pdf del $\chi^2_n$ desde cero (lo que también se aplica a la situación con $\sigma^2\neq1$ bajo cambios menores), puede seguir el primer paso aquí para la $\chi_1^2$ utilizando la transformación estándar para variables aleatorias. A continuación, puedes seguir los siguientes pasos o acortar la demostración apoyándote en las propiedades de convolución de la distribución Gamma y su relación con la $\chi^2_n$ descrito anteriormente.