Transformación de parámetros con el jacobiano

Question

Si $\phi:U\rightarrow V$ y $\tilde{\phi}:\tilde{U}\rightarrow\tilde{V}$ son parametrizaciones de una superficie regular $S$ con $V\cap\tilde{V}≠0$ y $V, \tilde{V}\subset S$ . Sea $E,F,G$ y $\tilde{E},\tilde{F},\tilde{G}$ sean los coeficientes de la forma fundamental I. de $\phi$ y $\tilde{\phi}$ respectivamente. Demostrar que;

$\left(\begin{array}{} \tilde{E}&\tilde{F} \\ \tilde{F}&\tilde{G} \end{array}\right) $ = $J^t$$\left ( \begin {array}{} E&F \\ F&G \end {array} \right ) $$J$

en los puntos correspondientes. $J$ es el jacobiano de $\phi^{-1}\circ\tilde\phi$

Mis preguntas

-¿Podemos suponer que $U,\tilde U\subset\mathbb R^2$

-¿Es mi cálculo para $E$ (Es decir, multiplico la primera columna, la primera fila de $J^t$ con E y de nuevo con la primera columna, primera fila de $J$ ) por debajo, ¿correcto?

Desde entonces, $J_{\phi^{-1}\circ\tilde\phi}(\tilde u)=J_{\phi^{-1}}(\tilde\phi(\tilde u)))\cdot J_{\tilde\phi}(\tilde u)$

En la primera columna, primera fila de $J_{\phi^{-1}}(\tilde\phi(\tilde u)))^t$ (también en la Matriz no transpuesta lo mismo) tenemos $\frac{1}{\phi_{u_1}(\phi^{-1}\circ\tilde\phi(\tilde u))}$ y

En la primera columna, primera fila de $J_{\tilde\phi}(\tilde u)^t$ tenemos $\tilde\phi_{\tilde u_1}(\tilde u)$

Finalmente;

$(\frac{1}{\phi_{u_1}(\phi^{-1}\circ\tilde\phi(\tilde u))})^2(\tilde\phi_{\tilde u_1}(\tilde u))^2\langle\phi_{u_1},\phi_{u_1}\rangle=\langle\tilde\phi_{\tilde u_1},\tilde\phi_{\tilde u_1}\rangle$

Answer 1

1. Sí, puedes asumirlo. Una parametrización de una superficie es (generalmente) un mapa desde un conjunto abierto en el plano a la superficie.

2. Confieso que en el cómputo restante me cuesta ver lo que haces. Eso puede ser debido a la notación - todas esas tildes e inversas son difíciles para mis viejos ojos. Es mira como si hubieras aplicado la regla de la "derivada de la inversa" al final de la primera línea que dice "En la primera columna". Si eso es lo que ocurre, parece que lo que has escrito es correcto.

Me gustaría sugerir una alternativa más simple desde el punto de vista de la notación, asumiendo por el momento que para usted, una "superficie regular" es una superficie incrustada agradablemente en $R^n$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que el $ij$ entrada de la matriz $AB$ es el producto interno del $i$ La fila de $A$ con el $j$ columna de $B$ . Así que el $ij$ entrada de $A^t A$ es el producto interno del $i$ y $j$ columnas de $A$ .

Si $D(u)$ es la derivada de la función $\phi$ en el punto $u \in U$ es decir, es un $n \times 2$ matriz, entonces su primera forma fundamental (para la primera parametrización) es simplemente $D(u)^t D(u)$ por el párrafo anterior. Llamemos a esto "hecho 1". Una afirmación correspondiente es válida para las variables con "tilde".

Dejar $\psi = \phi^{-1}\circ\tilde\phi$ para que $\phi \circ \psi = \tilde \phi$ la regla de la cadena nos dice que $$ \tilde D(u') = D(u) \cdot J_\psi(u) $$ donde $u' = \psi(u)$ y $J$ es el jacobiano. Escribiendo "FF" para la forma fundamental, tenemos $$ \tilde{FF}(u') = \tilde D(u')^t \tilde D(u') $$ por el hecho 1. Haciendo una sustitución, obtenemos \begin {align} \tilde {FF}(u') &= \tilde D(u')^t \tilde D(u') \\ &= \left (D(u) J_ \psi (u) \right )^t \left (D(u) J_ \psi (u) \right ) \text {, por el hecho 1} \\ &= \left (J_ \psi (u)^t D(u)^t \right ) \left (D(u) J_ \psi (u) \right ) \\ &= J_ \psi (u)^t \left (D(u)^t D(u) \right ) J_ \psi (u) \\ &= J_ \psi (u)^t FF(u) J_ \psi (u) \end {align} que es la conclusión que querías. Y todo lo que usé fue la multiplicación de matrices, la regla de la cadena, y algo de álgebra.

Una de las razones para favorecer este enfoque es que se utiliza una y otra vez, por lo que es bueno acostumbrarse a él desde el principio.