Interesado en una prueba "más fundamental" para las propiedades básicas de las conectivas lógicas

Question

Partiendo de la lógica proposicional clásica, ¿existe una forma bastante canónica de demostrar que $$p\wedge q=q\wedge p$$ para la conmutatividad de la conjunción y análogamente para las demás propiedades y conectivas, además de utilizar tablas de verdad, visualizando con diagramas de Venn afines El enfoque de Wikipedia ¿o el razonamiento filosófico verbal?

Dicho de otro modo, ¿podemos definir bien las conectivas desde una base más profunda que esa?

Por ejemplo, en la teoría de conjuntos, definimos la unión de los dos conjuntos $A$ , $B$ como $$A\cap B:=\{x\,|\,x\in A\wedge x\in B\}$$ para luego seguir adelante y demostrar que $\cap$ es conmutativo. Al hacer esto simplemente delegamos la prueba a la propia lógica proposicional (o la que sea) con la que definimos el operador $$A\cap B\overset{\mathrm{def}}{=}\{x\,|\,x\in A\wedge x\in B\}\overset{\mathrm{com}}{=}\{x\,|\,x\in B\wedge x\in A\}\overset{\mathrm{def}}{=}B\cap A.\square$$

Answer 1

No estoy seguro de que esto te satisfaga, pero una forma categórica de caracterizar se encuentra $a \wedge b$ y se une a $a \vee b$ es a través de propiedades universales:

$$x \leq a \wedge b \;\;\; \text{iff}\;\;\; x \leq a,\; x \leq b$$

$$a \vee b \leq x\;\;\; \text{iff}\;\;\; a \leq x,\; b \leq x$$

para cualquier $x$ . Estas son definiciones generales en la teoría de los posets o preórdenes, pero para las proposiciones, podemos pensar en $\leq$ como denotativo de la relación de vinculación. El par de vinculaciones de la derecha (para cada uno de los $\wedge, \vee$ ) simplemente significa que ambos se afirman.

En ese caso, se puede demostrar $a \wedge b = b \wedge a$ . Porque, tenemos

$$x \leq a \wedge b\;\;\; \text{iff}\;\;\; x \leq a, x \leq b\;\;\; \text{iff}\;\;\; x \leq b \wedge a.$$

Ahora bien, como $a \wedge b \leq a \wedge b$ podemos poner $x = a \wedge b$ y razonar hacia adelante para concluir $a \wedge b \leq b \wedge a$ . Del mismo modo, poner $x = b \wedge a$ y razonando hacia atrás, concluimos $b \wedge a \leq a \wedge b$ . Así, si tomamos que las proposiciones son iguales si se implican unas a otras (es decir, si asumimos el axioma de antisimetría para los posets), derivamos $a \wedge b = b \wedge a$ . Del mismo modo, podemos demostrar $a \vee b = b \vee a$ .

Un "argumento de universalidad" similar puede utilizarse para demostrar que $\wedge, \vee$ son asociativos, idempotentes, etc.

Una vez que tengamos caracterizaciones universales para $\wedge, \vee$ podemos añadir una tercera que caracteriza la negación

$$a \wedge b \leq c\;\;\; \text{iff}\;\;\; a \leq (\neg b) \vee c$$

y así obtenemos la lógica proposicional clásica (más exactamente, añadiríamos dos más para caracterizar el elemento superior $\top$ ("verdadero") y $\bot$ ("falso")).

Answer 2

Una vez que haya seleccionado un sistema de pruebas en particular, debería ser capaz de anotar un prueba formal de $(p\land q)\leftrightarrow (q \land p)$ . Sin embargo, el aspecto de esa prueba variará mucho entre los distintos sistemas de prueba.

Por ejemplo, en el calículo secuencial (clásico o intuicionista), la prueba formal podría ser así: $$\begin{array}{rll} 1) & q \vdash q & \text{axiom} \\ 2) & p,q \vdash q & 1, \text{weakening} \\ 3) & p \vdash p & \text{axiom} \\ 4) & p,q \vdash p & 3, \text{weakening} \\ 5) & p,q \vdash q\land p & 2,4,{\land}\mathrm I \\ 6) & p\land q \vdash q \land p & 5, {\land}\mathrm E \\ 7) & \vdash (p\land q) \to (q\land p) & 6, {\to}\mathrm I \\ 8-14) & \vdash (q\land p) \to (p\land q) & \text{(repeat the above with $ p $ and $ q $ interchanged)} \\ 15 & \vdash (p\land q) \leftrightarrow (q\land p) & 7, 14, {\leftrightarrow}I \end{array}$$

Sin embargo, una prueba de este tipo no ofrece realmente una visión profunda de cómo funciona la conjunción. Dice más sobre el sistema de pruebas que sobre la conjunción, es decir, que el sistema de pruebas funciona "de forma sana" con respecto a la conjunción.

Si no estás interesado en los sistemas de pruebas, sino en la semántica, entonces no puedes evitar el hecho de que las tablas de verdad es la forma más fundamental para definir la semántica de las conectivas proposicionales, mucho más adecuada como definición que las descripciones verbales. Por lo tanto, una prueba basada en una tabla de verdad es la prueba más fundamental que se puede obtener sobre la semántica aquí, y todo lo demás sólo será una paráfrasis más o menos convincente de la prueba fundamental basada en la tabla de verdad.