Cuando un grupo abeliano es cíclico

Question

Sea G un grupo abeliano finito que contiene un subgrupo no trivial que está contenido en cada subgrupo no trivial, entonces G debe ser cíclico. Este es un problema del libro de Herstein(Pg 108,#11 2da edición).No puedo resolverlo Plz ayúdame.

Answer 1

Supongamos que $H$ es el único subgrupo mínimo de $G$ . Entonces, para cualquier $g\in G$ :

1. $H\subset \langle g\rangle$ que implica $H$ es cíclico,
2. Desde $H$ es mínimo $|H|=p$ es un primo,
3. $\langle g\rangle$ tiene orden $p^n$ para algunos $n$ ,
4. $H=\langle g^{p^{n-1}}\rangle$

Supongamos ahora que $h$ es un elemento de $G$ con el orden máximo $ord(h)=p^m$ entonces $H=\langle h^{p^{m-1}}\rangle$ . Para cualquier $g\in G$ con orden $p^n\le p^m$ , $g^{p^{n-1}}$ es un generador de $H$ . Así que podemos suponer que $$g^{p^{n-1}}=h^{p^{m-1}}.$$ De ello se desprende que $$(gh^{-p^{m-n}})^{p^{n-1}}=1.$$ Si $gh^{-p^{m-n}}\ne 1$ entonces genera un grupo cíclico de orden como máximo $p^{n-1}$ . Este grupo también contiene $H$ podemos proceder por reducción para demostrar que $g$ es una potencia de $h$ .